За сколько времени тело, совершающее гармонические колебания с периодом 12 секунд, пройдет половину пути от среднего

Ivan

31

Давайте начнем с понимания задачи. Тело совершает гармонические колебания, в которых есть период. Период - это время, за которое тело выполняет одно полное колебание от одной крайней точки до другой и обратно. В данной задаче период равен 12 секундам.

Мы должны найти время, за которое тело достигнет половины расстояния от среднего положения к крайнему.

Верное решение:

А) Чтобы решить эту задачу, нам нужно знать, что положение тела при гармонических колебаниях описывается синусоидальной функцией. Формула для этой функции имеет вид:

\[y(t) = A \cdot \sin(\omega t + \phi)\]

Где:
- \(y\) - положение тела в определенный момент времени \(t\)
- \(A\) - амплитуда колебаний (расстояние от среднего положения до крайнего)
- \(\omega\) - угловая частота, которая связана с периодом следующим образом: \(\omega = \frac{2\pi}{T}\), где \(T\) - период
- \(\phi\) - начальная фаза колебаний

Заметим, что при \(t = 0\) значение функции достигает своей максимальной величины, то есть оно равно \(A\). А при \(t = \frac{T}{4}\) и \(t = \frac{3T}{4}\) функция достигает нулевого значения.

Для нашей задачи нам требуется найти время \(t\), при котором \(y(t) = \frac{A}{2}\).

Так как мы ищем время, требуется решить уравнение:

\(\frac{A}{2} = A \cdot \sin(\omega t + \phi)\)

Разделив обе части уравнения на \(A\), получим:

\(\frac{1}{2} = \sin(\omega t + \phi)\)

Теперь найдем угловую частоту \(\omega\) с использованием формулы \(\omega = \frac{2\pi}{T}\). Подставив данное значение в уравнение, найдем время \(t\).

Шаги решения:
1. Рассчитаем угловую частоту \(\omega = \frac{2\pi}{T}\):
\(\omega = \frac{2 \pi}{12}\) рад/сек

2. Решим уравнение \(\frac{1}{2} = \sin(\omega t + \phi)\) для неизвестного значения \(t\):
\(\frac{1}{2} = \sin\left(\frac{2 \pi}{12} t + \phi\right)\)

3. Найдем значение \(\frac{2 \pi}{12} t + \phi\), обратив функцию синуса:
\(\sin^{-1}\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{2 \pi}{12} t + \phi\)

4. Выразим \(t\) из уравнения:
\(t = \frac{6}{\pi} \cdot \left(\sin^{-1}\left(\frac{1}{2}\right) - \phi\right)\)

Таким образом, время, за которое тело достигнет половины расстояния от средней позиции к крайней, равно \(t = \frac{6}{\pi} \cdot \left(\sin^{-1}\left(\frac{1}{2}\right) - \phi\right)\).

Б) Вторая часть задачи сводится к вычислению времени, которое пройдет от среднего положения до половины расстояния от срединного положения до крайнего, что аналогично пункту А. Время \(t\) равно \(t = \frac{6}{\pi} \cdot \left(\sin^{-1}\left(\frac{1}{2}\right) - \phi\right)\).

Надеюсь, эти подробные пояснения помогут вам понять решение задачи. Если у вас остались дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать!