Задача 6. В пути от города А до города В через каждый километр установлены столбы с отметками расстояния до А с одной

Groza

17

Давайте решим эту задачу шаг за шагом.

Пусть расстояние от города А до первого столба будет равно \(x\) километрам, а от столба до города В — \(y\) километрам.

Согласно условию задачи, мы знаем, что разница между отметками на первом столбе составляет два раза. То есть, расстояние от столба до города А равно \(2x\), а от столба до города В — \(\frac{1}{2}y\). Теперь мы можем записать уравнение: \(x + 2x + \frac{1}{2}y + y = 5\).

Далее, условие говорит нам, что разница между отметками на втором столбе составляет три раза. Это значит, что расстояние от столба до города А равно \(3y\), а от столба до города В — \(y\). Мы можем записать ещё одно уравнение: \(x + 2x + \frac{1}{2}y + y + 3y + y = 5\).

Теперь оба уравнения можно объединить и решить их относительно неизвестных \(x\) и \(y\):

\[x + 2x + \frac{1}{2}y + y = x + 2x + \frac{1}{2}y + y + 3y + y\]

Упростим уравнение:

\[3x + \frac{5}{2}y = 5 + 5y\]

Перенесём всё в одну сторону:

\[3x + \frac{5}{2}y - 5y = 5\]

\[3x - \frac{5}{2}y = 5\]

Теперь мы имеем уравнение, которое можно решить относительно \(x\):

\[x = \frac{5}{3} - \frac{5}{2}y\]

Далее, подставим \(x\) обратно в одно из исходных уравнений (например, в первое):

\[x + 2x + \frac{1}{2}y + y = 5\]

\[\frac{5}{3} - \frac{5}{2}y + 2\left(\frac{5}{3} - \frac{5}{2}y\right) + \frac{1}{2}y + y = 5\]

\[5 - \frac{5}{3}y + \frac{10}{3} - \frac{10}{2}y + \frac{1}{2}y + y = 5\]

\[5 - \frac{5}{3}y + \frac{10}{3} - 5y + \frac{1}{2}y + y = 5\]

Теперь объединим подобные члены:

\[\frac{5}{3} - \frac{5}{3}y - 5y + \frac{1}{2}y + y = 0\]

\[\frac{5}{3} - \frac{15}{3}y + \frac{3}{6}y + \frac{6}{6}y = 0\]

\[\frac{5}{3} - \frac{15}{3}y + \frac{9}{6}y + \frac{6}{6}y = 0\]

\[\frac{5}{3} - \frac{15}{3}y + \frac{15}{6}y + \frac{6}{6}y = 0\]

Приведём к общему знаменателю:

\[\frac{10}{6} - \frac{30}{6}y + \frac{15}{6}y + \frac{6}{6}y = 0\]

\[\frac{10}{6} - \frac{15}{6}y + \frac{15}{6}y + \frac{6}{6}y = 0\]

\[\frac{10 - 3 \cdot 15 + 3 \cdot 15 + 6}{6}y = - \frac{10}{6}\]

\[\frac{10 + 6}{6}y = - \frac{10}{6}\]

\[\frac{16}{6}y = - \frac{10}{6}\]

Далее, найдём значение \(y\):

\[y = \frac{- \frac{10}{6}}{\frac{16}{6}}\]

\[y = \frac{-10}{16}\]

\[y = - \frac{5}{8}\]

Теперь мы можем найти значение \(x\) с помощью одного из исходных уравнений:

\[x = \frac{5}{3} - \frac{5}{2} \cdot \left(- \frac{5}{8}\right)\]

\[x = \frac{5}{3} - \frac{25}{16}\]

\[x = \frac{5 \cdot 16}{3 \cdot 16} - \frac{25}{16}\]

\[x = \frac{80 - 75}{48}\]

\[x = \frac{5}{48}\]

Итак, мы получили, что \(x = \frac{5}{48}\) и \(y = - \frac{5}{8}\). Теперь найдём общую длину пути от города А до В:

\[x + y + 2x + \frac{1}{2}y + 5\]

\[\frac{5}{48} - \frac{5}{8} + 2 \cdot \frac{5}{48} + \frac{1}{2} \cdot \left(- \frac{5}{8}\right) + 5\]

\[\frac{5}{48} - \frac{30}{48} + \frac{10}{48} - \frac{5}{16} + \frac{240}{48}\]

\[- \frac{20}{48} - \frac{5}{16} + \frac{240}{48}\]

\[- \frac{20}{48} - \frac{15}{48} + \frac{240}{48}\]

\[\frac{20 - 15 + 240}{48}\]

\[\frac{245}{48}\]

Таким образом, общая длина пути от города А до В составляет \(\frac{245}{48}\) километров.

Единственный возможный ответ: \(\frac{245}{48}\)