Знайти об єм кулі, яка має січну площину на відстані 5 см від центру кулі, де довжина кола перерізу становить

Timofey

19

Для того чтобы найти объем шарового сегмента – части шара, ограниченной двумя параллельными плоскостями, необходимо знать радиус шара \( R \) и высоту сегмента \( h \). В данной задаче известны радиус шара \( R \) и расстояние от центра шара до плоскости сечения \( d \).

Первым шагом найдем радиус сечения \( r \) при помощи теоремы Пифагора. Рассмотрим треугольник, в котором одна сторона равна радиусу шара \( R \), а другая сторона равна расстоянию от центра шара до плоскости сечения \( d \). Тогда гипотенуза этого треугольника равна радиусу сечения \( r \).

Применяя теорему Пифагора, получим:
\[ R^2 = r^2 + (R-d)^2 \]

Далее, найдем высоту сегмента \( h \). Разделим сегмент на три части.
Первая часть – это основание сегмента, его площадь равна площади круга с радиусом \( R \).
Вторая часть – это треугольник со сторонами \( R \), \( r \) и \( h \).
И третья часть – это сегмент плоскости, колено которого является окружностью с радиусом \( r \).

Следовательно, высота сегмента равна сумме высоты правильного треугольника и радиуса сечения:
\[ h = r + (R - d) \]

Наконец, подставим значения \( r \) и \( h \) в формулу для объема шарового сегмента:
\[ V = \frac{1}{3}\pi h^2 (3R - h) \]

Таким образом, для решения задачи необходимо найти радиус \( r \) сечения шарового сегмента, затем высоту сегмента \( h \), и, наконец, подставить полученные значения в формулу для нахождения объема \( V \).