1.26. Для многочленов f(x) и p(x) найдите такие значения x, для которых f(x) = p(x) * g(x) + r(x) и либо степень

Yuriy

10

Для решения данной задачи нам необходимо разделить многочлен \( f(x) = 3x^4 - 2x^3 + 7x - 3 \) на многочлен \( p(x) = x^2 - 3x - 2 \) с остатком.

Метод долгого деления применим для данной задачи. Для начала, приведем оба многочлена к упорядоченному виду, по убыванию степеней переменной \( x \).

\( f(x) = 3x^4 - 2x^3 + 0x^2 + 7x - 3 \)
\( p(x) = 0x^4 + 1x^3 - 3x^2 - 2x + 0 \)

Теперь приступим к делению:

----------------------
\( x^2 - 3x - 2 ) | 3x^4 - 2x^3 + 0x^2 + 7x - 3 \)
\(-3x^4 + 9x^3 + 6x^2 \)
----------------------
\(-11x^3 - 6x^2 + 7x \)
\(-11x^3 + 33x^2 + 22x \)
----------------------
\(-39x^2 - 15x - 3 \)
\(-39x^2 + 117x + 78 \)
------------------------
\(-132x - 81 \)

В результате получаем:

\( f(x) = p(x) \cdot g(x) + r(x) \), где \( g(x) = x^2 - 3x - 2 \) и \( r(x) = -132x - 81 \).

Мы видим, что степень многочлена \( r(x) \) равна 1, что меньше степени переменной \( x \). Следовательно, данное значение \( x \), при котором выполняется заданное равенство, существует, и многочлен \( r(x) = -132x - 81 \) удовлетворяет требованию, что его степень меньше степени переменной \( x \).

Итак, чтобы найти такие значения \( x \), для которых выполняется \( f(x) = p(x) \cdot g(x) + r(x) \), необходимо найти корни уравнения \( r(x) = -132x - 81 = 0 \).

Для этого, приравняем \( -132x - 81 \) к нулю:

\[ -132x - 81 = 0 \]

Теперь решим это уравнение:

\[ -132x = 81 \]

\[ x = -\frac{81}{132} \]

\[ x = -\frac{3}{4} \]

Таким образом, для заданных многочленов \( f(x) \), \( p(x) \) и \( g(x) \), значение \( x \), при котором выполняется \( f(x) = p(x) \cdot g(x) + r(x) \), равно \( x = -\frac{3}{4} \).