1. Чему равна площадь фигуры на клетчатой бумаге с клетками размером 1 см x 1 см? A) 9 см2; B) 6 см2; C) 22см2

Rys

5

1. Площадь фигуры на клетчатой бумаге можно вычислить, подсчитав число клеток, на которые она попадает. В данном случае, размеры клеток равны 1 см x 1 см. Фигура имеет форму прямоугольника со сторонами 3 см и 2 см. Чтобы найти площадь, умножим длину на ширину: 3 см * 2 см = 6 см².

Ответ: B) 6 см².

2. У задачи нет номера, поэтому пропускаю ее и перехожу к следующей.

3. Чтобы найти площадь треугольника, используем формулу \(\text{{площадь}} = \frac{1}{2} \times \text{{основание}} \times \text{{высота}}\).
Для треугольника PKC: основание PK равно 17 см, а высота измеряется от P до отрезка CT.
Заметим, что треугольник KCT равнобедренный, поскольку KT = KC.
Используем теорему Пифагора, чтобы найти высоту треугольника: \(CT^2 = PK^2 - CK^2\).
Подставляем данные: \(50^2 = 17^2 - CK^2\). Решаем уравнение и находим, что CK = 8 см.
Теперь можем найти площадь треугольников:
\(\text{{площадь}}_{PKC} = \frac{1}{2} \times PK \times CK = \frac{1}{2} \times 17 \times 8 = 68 \, \text{{см}}^2\),
\(\text{{площадь}}_{KCT} = \frac{1}{2} \times KT \times CK = \frac{1}{2} \times 65 \times 8 = 260 \, \text{{см}}^2\).

Ответ: Площадь треугольника PKC равна 68 см², площадь треугольника KCT равна 260 см².

4. Площадь параллелограмма можно найти, умножив длину одной из его сторон на высоту, опущенную на эту сторону. Высоту можно найти, используя формулу площади треугольника как \(\text{{площадь}} = \frac{1}{2} \times \text{{основание}} \times \text{{высота}}\). Найдем площадь треугольника ABE с основанием 5 см и высотой 4 см: \(\text{{площадь}}_{ABE} = \frac{1}{2} \times 5 \times 4 = 10 \, \text{{см}}^2\).
Так как высота СН делит основание АК пополам, высота треугольника AKC будет равна 2 см. Поэтому площадь треугольника AKC равна \(\text{{площадь}}_{AKC} = \frac{1}{2} \times 3 \times 2 = 3 \, \text{{см}}^2\).
Таким образом, площадь параллелограмма ABCD равна сумме площадей треугольников ABE и AKC: \(\text{{площадь}}_{ABCD} = \text{{площадь}}_{ABE} + \text{{площадь}}_{AKC} = 10 + 3 = 13 \, \text{{см}}^2\).

Ответ: Площадь параллелограмма равна 13 см².

5. Чтобы найти площадь прямоугольной трапеции, умножим сумму параллельных сторон (оснований) на высоту и разделим результат на 2.
Согласно задаче, мы знаем, что большая боковая сторона равна \(3\sqrt{2}\) см и угол К равен 45°. Также указано, что высота СН делит основание АК пополам.
Чтобы найти площадь трапеции, нам необходимо найти длины оснований и высоту. Обозначим основания трапеции как АВ и СК, а высоту - как НС.
По условию задачи знаем, что угол К равен 45°, поэтому прямоугольник СКН равнобедренный.
Так как угол К равен 45°, угол САК равен 135° (так как сумма углов треугольника равна 180°).
Также из задачи видно, что СН делит АК пополам, поэтому СА = АК/2.
Из прямоугольника САК получаем следующее: \(\sin(135^\circ) = \frac{{\text{{противоположная сторона}}}}{{\text{{гипотенуза}}}}\).
Так как сторона АК является противоположной стороной угла 135°, она равна высоте НС. Используя тригонометрические соотношения, получаем:
\(\sin(135^\circ) = \frac{{NS}}{{AK}}\).
\(\frac{{\sqrt{2}}}{{2}} = \frac{{NS}}{{AK}}\).
Отсюда следует, что \(NS = \frac{{AK \cdot \sqrt{2}}}{{2}}\).
Так как НС делит прямоугольник САК на два равных по площади прямоугольника, площадь треугольника САК будет равна половине площади прямоугольника САК:
\(\text{{площадь}}_{\triangle AKС} = \frac{1}{2} \times AK \times NS = \frac{1}{2} \times AK \times \left(\frac{{AK \cdot \sqrt{2}}}{{2}}\right)\).
Теперь известно, что \(AK = NC + AN\). Заменим АК в формуле площади площади треугольника, используя это равенство:
\(\text{{площадь}}_{\triangle AKС} = \frac{1}{2} \times (NC + AN) \times \left(\frac{{(NC + AN) \cdot \sqrt{2}}}{{2}}\right)\).
Продолжаем упрощать выражение:
\(\text{{площадь}}_{\triangle AKС} = \frac{1}{2} \times \left(\frac{{AC \cdot \sqrt{2}}}{{2}}\right) \times (AC + \frac{{AC \cdot \sqrt{2}}}{{2}})\).
\(\text{{площадь}}_{\triangle AKС} = \frac{1}{2} \times \left(\frac{{AC^2 \cdot \sqrt{2}}}{{2}} + \frac{{AC^2 \cdot \sqrt{2}}}{{4}}\right)\).
\(\text{{площадь}}_{\triangle AKС} = \frac{{AC^2 \cdot \sqrt{2}}}{4} + \frac{{AC^2 \cdot \sqrt{2}}}{8}\).
\(\text{{площадь}}_{\triangle AKС} = \frac{{AC^2 \cdot \sqrt{2}}}{8} + \frac{{2 \cdot AC^2 \cdot \sqrt{2}}}{8}\).
\(\text{{площадь}}_{\triangle AKС} = \frac{{3 \cdot AC^2 \cdot \sqrt{2}}}{8}\).

Теперь зная, что СК = 3√2 и АК = СА + АК/2 = СА + 1/2 * СК = СА + 1/2 * 3√2, а СА = 1/2 * АЛ (где АЛ - большая боковая сторона равная 3√2), можем выразить СА через АЛ:
СА = 1/2 * АЛ = 1/2 * 3√2 = 3/2 * √2.
Таким образом, АК = 3/2 * √2 + 1/2 * 3√2 = 3√2.
Подставляем полученные значения в формулу для площади треугольника AKC:
\(\text{{площадь}}_{\triangle AKС} = \frac{{3 \cdot (3√2)^2 \cdot \sqrt{2}}}{8}\).
\(\text{{площадь}}_{\triangle AKС} = \frac{{3 \cdot 18 \cdot 2 \cdot \sqrt{2}}}{8} = \frac{{108 \sqrt{2}}}{8} = 13.5 \sqrt{2}\) см².

Теперь можем найти площадь прямоугольной трапеции АВСК, просуммировав площади треугольников AKC и VBC:
\(\text{{площадь}}_{ABCV} = \frac{{AK + CV}}{2} \times СК\).
Заменим АК и СА:
\(\text{{площадь}}_{ABCV} = \frac{{3√2 + (3√2 + √2)}}{2} \times 3√2\).
\(\text{{площадь}}_{ABCV} = \frac{{6√2 + √2}}{2} \times 3√2\).
\(\text{{площадь}}_{ABCV} = \frac{{7√2}}{2} \times 3√2 = \frac{{21√2}}{2}\) см².

Ответ: Площадь прямоугольной трапеции АВСК равна \(\frac{{21√2}}{2}\) см².