1. Чему равно MN в прямоугольном треугольнике MNK со сторонами KM = 20 и KN = 21? 2. Чему равна высота, опущенная

Снежок

29

1. Для нахождения длины стороны \( MN \) в прямоугольном треугольнике \( MNK \) с известными сторонами \( KM = 20 \) и \( KN = 21 \), мы можем использовать теорему Пифагора. Теорема Пифагора гласит, что в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Таким образом, катеты \( KM \) и \( KN \) могут быть представлены в виде:

\( KM = 20 \) и \( KN = 21 \)

Мы можем найти длину гипотенузы \( MN \), применив теорему Пифагора:

\[
MN = \sqrt{KM^2 + KN^2}
\]

\[
MN = \sqrt{20^2 + 21^2}
\]

\[
MN = \sqrt{400 + 441}
\]

\[
MN = \sqrt{841}
\]

\[
MN = 29
\]

Таким образом, длина стороны \( MN \) равна 29.

2. Чтобы найти высоту, опущенную на гипотенузу треугольника \( MNK \), мы можем использовать свойство прямоугольного треугольника, согласно которому произведение длин катета и высоты, опущенной на гипотенузу, равно площади треугольника.

Мы уже знаем, что стороны прямоугольного треугольника \( MNK \) равны \( KM = 20 \) и \( KN = 21 \). Таким образом, площадь треугольника можно найти, используя формулу площади прямоугольного треугольника:

\[
Площадь = \frac{1}{2} \times KM \times KN
\]

\[
Площадь = \frac{1}{2} \times 20 \times 21
\]

\[
Площадь = \frac{1}{2} \times 420
\]

\[
Площадь = 210
\]

Теперь мы можем найти высоту, опущенную на гипотенузу, используя произведение катета и высоты равное площади:

\[
210 = 29 \times Высота
\]

\[
Высота = \frac{210}{29}
\]

\[
Высота \approx 7.24
\]

Таким образом, высота, опущенная на гипотенузу треугольника \( MNK \), примерно равна 7.24.

3. Для нахождения радиуса вписанной окружности в прямоугольном треугольнике \( MNK \) мы можем использовать следующую формулу:

\[
Радиус\ вписанной\ окружности = \frac{Площадь\ треугольника}{Полупериметр\ треугольника}
\]

Мы уже знаем, что площадь треугольника \( MNK \) равна 210. Полупериметр треугольника можно найти, сложив все три стороны и разделив полученную сумму на 2.

\[
Полупериметр = \frac{KM + KN + MN}{2}
\]
\[
Полупериметр = \frac{20 + 21 + 29}{2}
\]
\[
Полупериметр = \frac{70}{2}
\]
\[
Полупериметр = 35
\]

Теперь мы можем найти радиус вписанной окружности:

\[
Радиус\ вписанной\ окружности = \frac{210}{35}
\]
\[
Радиус\ вписанной\ окружности = 6
\]

Таким образом, радиус вписанной окружности в прямоугольном треугольнике \( MNK \) равен 6.

4. Для нахождения радиуса описанной окружности для треугольника \( MNK \) мы можем использовать следующую формулу:

\[
Радиус\ описанной\ окружности = \frac{Гипотенуза}{2}
\]

Мы уже знаем, что гипотенуза треугольника \( MNK \) равна 29.

Теперь мы можем найти радиус описанной окружности:

\[
Радиус\ описанной\ окружности = \frac{29}{2}
\]
\[
Радиус\ описанной\ окружности = 14.5
\]

Таким образом, радиус описанной окружности для треугольника \( MNK \) равен 14.5.

5. Чтобы найти площадь прямоугольного треугольника \( MNK \), мы можем использовать следующую формулу:

\[
Площадь = \frac{1}{2} \times KM \times KN
\]

Мы уже знаем, что стороны треугольника \( MNK \) равны \( KM = 20 \) и \( KN = 21 \).

Теперь мы можем вычислить площадь:

\[
Площадь = \frac{1}{2} \times 20 \times 21
\]
\[
Площадь = 210
\]

Таким образом, площадь прямоугольного треугольника \( MNK \) равна 210.

6. Чтобы найти синус большего острого угла треугольника \( MNK \), мы можем использовать отношение противоположного катета к гипотенузе.

Мы знаем, что сторона \( KN \) является противоположным катетом, а сторона \( MN \) является гипотенузой.

Можем записать формулу для синуса как:

\[
Синус\ угла = \frac{Противоположный\ катет}{Гипотенуза}
\]

Теперь мы можем вычислить синус большего острого угла:

\[
Синус\ большего\ острого\ угла = \frac{KN}{MN} = \frac{21}{29}
\]

Таким образом, синус большего острого угла треугольника \( MNK \) равен \(\frac{21}{29}\).

7. Чтобы найти косинус меньшего острого угла треугольника \( MNK \), мы можем использовать отношение прилежащего катета к гипотенузе.

Мы знаем, что сторона \( KM \) является прилежащим катетом, а сторона \( MN \) является гипотенузой.

Можем записать формулу для косинуса как:

\[
Косинус\ угла = \frac{Прилежащий\ катет}{Гипотенуза}
\]

Теперь мы можем вычислить косинус меньшего острого угла:

\[
Косинус\ меньшего\ острого\ угла = \frac{KM}{MN} = \frac{20}{29}
\]

Таким образом, косинус меньшего острого угла треугольника \( MNK \) равен \(\frac{20}{29}\).

8. Чтобы найти тангенс угла, внешнего к углу \( M \) в треугольнике \( MNK \), мы можем использовать отношение противоположного катета к прилежащему катету.

Мы знаем, что сторона \( MN \) является противоположным катетом угла, внешнего к углу \( M \), а сторона \( KM \) является прилежащим катетом.

Можем записать формулу для тангенса как:

\[
Тангенс\ угла = \frac{Противоположный\ катет}{Прилежащий\ катет}
\]

Теперь мы можем вычислить тангенс угла, внешнего к углу \( M \):

\[
Тангенс\ угла = \frac{MN}{KM} = \frac{29}{20}
\]

Таким образом, тангенс угла, внешнего к углу \( M \) в треугольнике \( MNK \), равен \(\frac{29}{20}\).

9. Чтобы найти синус угла, внешнего к углу \( N \) в треугольнике \( MNK \), мы можем использовать отношение противоположного катета к гипотенузе.

Мы знаем, что сторона \( KN \) является противоположным катетом угла, внешнего к углу \( N \), а сторона \( MN \) является гипотенузой.

Можем записать формулу для синуса как:

\[
Синус\ угла = \frac{Противоположный\ катет}{Гипотенуза}
\]

Теперь мы можем вычислить синус угла, внешнего к углу \( N \):

\[
Синус\ угла = \frac{KN}{MN} = \frac{21}{29}
\]

Таким образом, синус угла, внешнего к углу \( N \) в треугольнике \( MNK \), равен \(\frac{21}{29}\).

10. Чтобы найти медиану \( NP \) треугольника \( MNK \), мы можем использовать теорему медианы прямоугольного треугольника. Согласно этой теореме, медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине длины гипотенузы.

Мы уже знаем, что длина гипотенузы \( MN \) равна 29.

Теперь мы можем найти медиану \( NP \):

\[
Медиана\ NP = \frac{MN}{2} = \frac{29}{2}
\]

Таким образом, медиана \( NP \) треугольника \( MNK \) равна \(\frac{29}{2}\).

Надеюсь, мои пошаговые решения помогли вам понять решение задач по прямоугольным треугольникам. Если у вас есть еще вопросы, не стесняйтесь задавать. Я всегда готов помочь!