1) Чему равны m и c в уравнении прямой (x-z)/m=(y+1)/4=(z-5)/-3 и как связано это с плоскостью 3x-2y+cz+1=0, которая

Belochka

36

1) Начнем с уравнения прямой:
\[\frac{{x-z}}{{m}} = \frac{{y+1}}{{4}} = \frac{{z-5}}{{-3}}\]

Чтобы определить \(m\), первым делом рассмотрим отношение \(\frac{{x-z}}{{m}}\). Заметим, что это же отношение можно представить как \(\frac{{x-z}}{{1}}\), так как отношение двух чисел остается неизменным, когда оба числа домножаются на одно и то же ненулевое значение.

Теперь мы видим, что прямая выглядит следующим образом:
\[x - z = m\]

Таким образом, мы можем сделать вывод, что \(m = x - z\).

Теперь перейдем к уравнению плоскости:
\[3x - 2y + cz + 1 = 0\]

Мы знаем, что прямая перпендикулярна плоскости, если ее направляющий вектор параллелен вектору нормали этой плоскости. Вектор нормали можно получить путем представления коэффициентов \(x\), \(y\) и \(z\) в уравнении плоскости как координаты вектора.

Итак, вектор нормали плоскости имеет координаты \((3, -2, c)\).

Так как прямая перпендикулярна этой плоскости, направляющий вектор прямой будет ортогональным к вектору нормали плоскости. Это означает, что скалярное произведение направляющего вектора прямой и вектора нормали плоскости равно нулю:

\(m \cdot 3 + 4 \cdot (-2) + (-3) \cdot c = 0\)

Подставим значение \(m = x - z\) в это уравнение:

\((x - z) \cdot 3 + 4 \cdot (-2) + (-3) \cdot c = 0\)

Упростим:

\(3x - 3z - 8 - 3c = 0\)

Таким образом, связь между \(m\) и \(c\) в уравнении прямой и плоскости заключается в том, что они удовлетворяют уравнению:

\(3x - 3z - 8 - 3c = 0\)

2) Чтобы вычислить направляющие косинусы прямой, нужно знать ее направляющий вектор.

Для этого воспользуемся компонентами этого вектора. Пусть \(x_1, y_1, z_1\) - это координаты одной точки на прямой, а \(x_2, y_2, z_2\) - координаты другой точки на прямой. Тогда направляющий вектор прямой будет равен:
\[\vec{v} = (x_2 - x_1, y_2 - y_1, z_2 - z_1)\]

Чтобы вычислить направляющие косинусы прямой, нужно разделить каждую компоненту вектора \(\vec{v}\) на его длину \(\|\vec{v}\|\). Таким образом, направляющие косинусы \(\cos(\alpha), \cos(\beta), \cos(\gamma)\) прямой будут равны:
\[\cos(\alpha) = \frac{x_2 - x_1}{\sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}}\]
\[\cos(\beta) = \frac{y_2 - y_1}{\sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}}\]
\[\cos(\gamma) = \frac{z_2 - z_1}{\sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}}\]