1) Что представляет собой область определения функции y=ctg(x/4)? 2) Каков наименьший положительный период функции

Serdce_Ognya

14

1) Область определения функции \(y = \mathrm{ctg}\left(\frac{x}{4}\right)\) определяется ограничениями на аргумент функции, при которых она имеет смысл.

В данном случае, функция \(\mathrm{ctg}(x)\) имеет смысл для любого значения аргумента, за исключением точек, где тангенс равен нулю, поскольку ctg(x) = 1/tg(x).

Так как значение аргумента \(x/4\) не влияет на существование функции ctg, то область определения функции \(y = \mathrm{ctg}\left(\frac{x}{4}\right)\) совпадает с областью определения функции \(\mathrm{ctg}(x)\), а именно: все вещественные числа, не являющиеся кратными \(\frac{\pi}{2}\):

\[
D = \left\{x \in \mathbb{R} \,|\, x \neq \frac{\pi}{2}n, \, n \in \mathbb{Z}\right\}
\]

2) Теперь рассмотрим наименьший положительный период функции \(y = \mathrm{ctg}\left(\frac{x}{4}\right)\). Положительный период функции - это наименьшее положительное число \(p\), для которого выполняется:

\[
\mathrm{ctg}\left(\frac{x}{4}\right) = \mathrm{ctg}\left(\frac{x}{4} + p\right),
\]

для любого \(x\).

Период функции ctg(x) равен \(\pi\), то есть \(\mathrm{ctg}(x) = \mathrm{ctg}(x+\pi)\). В данном случае, аргумент функции имеет вид \(x/4\), поэтому период функции будет равен \(p = \pi \cdot 4 = 4\pi\).

Таким образом, наименьший положительный период функции \(y = \mathrm{ctg}\left(\frac{x}{4}\right)\) равен \(4\pi\).