1) Даны координаты точек А(3; -5) и В(-7; 8). а) Найдите координаты середины отрезка АВ. б) Найдите длину отрезка

Сумасшедший_Рейнджер

3

Хорошо. Давайте решим эту задачу по шагам.

а) Для нахождения координат середины отрезка АВ мы должны вычислить среднее арифметическое от координат x и y каждой точки.

Координаты точки А: x = 3, y = -5
Координаты точки В: x = -7, y = 8

Чтобы найти координату x середины отрезка АВ, мы складываем координаты x точек А и В и делим полученную сумму на 2:

\[\frac{(3 + (-7))}{2} = \frac{-4}{2} = -2\]

Таким образом, координата x середины отрезка АВ равна -2.

Для нахождения координаты y середины отрезка АВ мы проводим ту же самую операцию для координат y:

\[\frac{(-5 + 8)}{2} = \frac{3}{2} = 1.5\]

Таким образом, координата y середины отрезка АВ равна 1.5.

Ответ: Координаты середины отрезка АВ равны (-2; 1.5).

б) Для нахождения длины отрезка АВ мы можем использовать формулу для расстояния между двумя точками в декартовой системе координат:

\[d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\]

Где (x1, y1) и (x2, y2) - координаты точек А и В соответственно.

Подставляя значения координат точек А и В в эту формулу, мы получим:

\[d = \sqrt{((-7) - 3)^2 + (8 - (-5))^2}\]
\[d = \sqrt{(-10)^2 + (13)^2}\]
\[d = \sqrt{100 + 169}\]
\[d = \sqrt{269}\]

Таким образом, длина отрезка АВ равна \(\sqrt{269}\).

в) Уравнение прямой, проходящей через точки А и В, можно записать с использованием формулы для уравнения прямой в общем виде:

\[y = mx + c\]

где m - коэффициент наклона прямой, а с - свободный член.

Чтобы найти коэффициент наклона m, мы используем формулу:

\[m = \frac{(y_2 - y_1)}{(x_2 - x_1)}\]

Подставляя значения координат точек А и В, мы получим:

\[m = \frac{(8 - (-5))}{((-7) - 3)} = \frac{13}{-10}\]

Таким образом, коэффициент наклона прямой равен \(-\frac{13}{10}\).

Чтобы найти свободный член c, мы можем подставить координаты одной из точек (например, точки А) и значение коэффициента наклона в уравнение прямой и решить его:

\[-5 = (-\frac{13}{10} \cdot 3) + c\]
\[-5 = -\frac{39}{10} + c\]
\[c = -5 + \frac{39}{10} = \frac{-50 + 39}{10} = \frac{-11}{10}\]

Таким образом, свободный член c равен \(\frac{-11}{10}\).

Ответ: Уравнение прямой, проходящей через точки А и В, равно \(y = -\frac{13}{10}x + \frac{-11}{10}\).