1. Докажите, что длина шеста OK не зависит от расстояния AD между шестами, выразив длину OK через длины AB=x и DC=y

Lizonka

17

Чтобы доказать, что длина шеста OK не зависит от расстояния AD, мы можем использовать теорему Пифагора и использовать свойства подобных треугольников.

1. Рассмотрим треугольник ABD. По теореме Пифагора, квадрат длины гипотенузы AB равен сумме квадратов длин катетов AD и BD. То есть, \(AB^2 = AD^2 + BD^2\).

2. Так как AD и DC образуют пару параллельными прямыми, треугольники ABD и OKC подобны. Это можно заметить, так как углы между соответствующими сторонами этих треугольников равны (по свойству параллельных прямых).

3. Используя подобие треугольников ABD и OKC, мы можем установить пропорцию между сторонами этих треугольников: \(\frac{AB}{OK} = \frac{AD + BD}{OK + DC}\).

4. Теперь мы можем выразить длину шеста OK через длины AB=x и DC=y. Заменим эти значения в пропорции: \(\frac{x}{OK} = \frac{AD + BD}{OK + y}\).

5. Раскроем скобки в пропорции: \(x \cdot (OK + y) = (AD + BD) \cdot OK\).

6. Распределим умножение: \(x \cdot OK + x \cdot y = AD \cdot OK + BD \cdot OK\).

7. Выразим OK: \(x \cdot OK - AD \cdot OK = BD \cdot OK - x \cdot y\).

8. Воспользуемся тем, что \(AB = AD + BD\): \(x \cdot OK - AD \cdot OK = (AB - AD) \cdot OK - x \cdot y\).

9. Упростим выражение: \(x \cdot OK - AD \cdot OK = AB \cdot OK - AD \cdot OK - x \cdot y\).

10. Сократим OK: \(x - AD = AB - AD - x \cdot y\).

11. Упростим: \(x = AB - x \cdot y\).

12. Сгруппируем слагаемые с x: \(x + x \cdot y = AB\).

13. Факторизуем x: \(x(1 + y) = AB\).

14. Выразим OK: \(OK = \frac{AB}{1 + y}\).

Теперь, чтобы определить длину шеста OK, когда AB=2м и DC=8м, мы подставим значения x=2 и y=8 в полученное выражение:

\[OK = \frac{2}{1 + 8} = \frac{2}{9}\] метра.