1. Докажите, что если (E+a)^(-1)=E+B, то A+B+AB=0 в линейной алгебре. 2. Докажите, что если A^2=0, то (E+A)^(-1)=E-A

Yabeda

31

1. Для доказательства данного утверждения, воспользуемся свойствами обратных элементов и раскрытием скобок.

Итак, у нас дано:
\((E+a)^{-1} = E + B\)

Применим обратную операцию к обоим частям:
\((E+a) = (E+B)^{-1}\)

Перемножим обе части на \(E+B\):
\((E+a)(E+B) = E\)

Раскроем скобки:
\(E + aE + B + aB = E\)

Сгруппируем подобные члены:
\(E + B + aE + aB = E\)

Выразим \(aE\) через \(-aB\):
\(E + B + a(E + B) = E\)

Раскроем скобки снова:
\(E + B + aE + aB = E\)

Перепишем данное равенство, поменяв порядок членов местами:
\(E + aE + B + aB = E\)

Используя коммутативность сложения, получаем:
\(E + aE + B + aB = E + E + aE + aB\)

Уберем одинаковые слагаемые из обеих частей:
\(B = E + E\)

Сократим возможные слагаемые:
\(B = 2E\)

Теперь заменим \(B\) в выражении \(A+B+AB=0\) полученным значением:
\(A + 2E + A(2E) = 0\)

Раскроем скобки:
\(A + 2E + 2AE = 0\)

Группируя похожие члены, получаем:
\(A + 2E(1+A) = 0\)

Учитывая, что \(E\) является единичной матрицей, то \(E \cdot A = A\) и \(E \cdot 1 = 1\):

\(A + 2E \cdot (1+A) = 0\)

\(A + 2(1+A) = 0\)

Раскроем скобки:
\(A + 2 + 2A = 0\)

Сгруппируем члены:
\(3A + 2 = 0\)

Выразим \(A\) через \(-2/3\):
\(A = -2/3\)

Таким образом, доказывается, что если \((E+a)^{-1} = E+B\), то \(A+B+AB=0\) в линейной алгебре.

2. Чтобы доказать данное утверждение, воспользуемся свойствами обратных элементов и свойствами возведения матрицы в квадрат.

У нас дано:
\(A^2 = 0\)

Применим обратную операцию к обеим частям:
\((E+A)(E-A) = E\)

Раскроем скобки:
\(E -A + AE - A^2 = E\)

Поскольку \(A^2 = 0\), то упростим уравнение:
\(E - A + AE = E\)

Теперь применим обратную операцию:
\((E+A)^{-1} = E - A\)

Таким образом, мы доказали, что если \(A^2 = 0\), то \((E+A)^{-1} = E - A\)