1) Докажите, что вектор DA равен разности векторов SB и SC для произвольной точки S. 2) Найдите все пары вершин

Chupa

25

1) Для доказательства равенства вектора DA и разности векторов SB и SC, докажем, что вектор DA и разность векторов SB и SC имеют одинаковые компоненты. Пусть вектор DA имеет координаты (x1, y1, z1), вектор SB имеет координаты (x2, y2, z2), а вектор SC имеет координаты (x3, y3, z3).

Тогда по определению вектора разности, вектор SB - SC имеет координаты (x2 - x3, y2 - y3, z2 - z3).

Таким образом, нам нужно показать, что x1 = x2 - x3, y1 = y2 - y3 и z1 = z2 - z3.

Для этого рассмотрим вектор AB, имеющий координаты (x1 - x2, y1 - y2, z1 - z2), и вектор AC, имеющий координаты (x1 - x3, y1 - y3, z1 - z3). По определению векторов, эти векторы соответствуют отрезкам, соединяющим точки A с B и C соответственно.

Таким образом, если вектор AB и вектор AC равны, то их координаты должны быть равными:

x1 - x2 = x1 - x3,
y1 - y2 = y1 - y3,
z1 - z2 = z1 - z3.

После сокращения одинаковых слагаемых мы получим исходные уравнения:

x2 - x3 = x1,
y2 - y3 = y1,
z2 - z3 = z1.

Это показывает, что вектор DA имеет координаты (x2 - x3, y2 - y3, z2 - z3), что совпадает с координатами разности векторов SB и SC.

Таким образом, мы доказали, что вектор DA равен разности векторов SB и SC для произвольной точки S.

2) Чтобы найти все пары вершин параллелепипеда ABCDA1B1C1D1, такие, что соответствующие векторы коллинеарны вектору AC, нам нужно рассмотреть координаты вершин и проверить условие коллинеарности.

Пусть вершина A имеет координаты (x1, y1, z1), вершина B имеет координаты (x2, y2, z2), и так далее. Тогда условие коллинеарности означает, что соответствующие векторы коллинеарны вектору AC.

То есть, для каждой вершины, мы должны проверить, что вектор, образованный этой вершиной и вершиной A, коллинеарен вектору AC.

Для этого, возьмем две вершины, A и B, и проверим, что вектор AB коллинеарен вектору AC. Если это выполняется, мы найдем одну пару вершин.

Таким образом, нам нужно сравнить координаты векторов AB и AC и проверить, что их отношения равны:

\((x2 - x1, y2 - y1, z2 - z1) = k(x3 - x1, y3 - y1, z3 - z1)\),

где k - произвольное число.

Мы повторяем эту проверку для каждой пары вершин и находим все пары вершин, удовлетворяющих условию.

3) Чтобы определить вектор, являющийся суммой векторов AB, B1C1, DD1 и CD для параллелепипеда ABCDA1B1C1D1, мы можем просто сложить соответствующие векторы.

\(AB\) имеет координаты \((x_2 - x_1, y_2 - y_1, z_2 - z_1)\),
\(B1C1\) имеет координаты \((x_{B1} - x_{C1}, y_{B1} - y_{C1}, z_{B1} - z_{C1})\),
\(DD1\) имеет координаты \((x_{D} - x_{D1}, y_{D} - y_{D1}, z_{D} - z_{D1})\),
\(CD\) имеет координаты \((x_{C} - x_{D}, y_{C} - y_{D}, z_{C} - z_{D})\).

Таким образом, суммируя соответствующие компоненты, мы получим координаты искомого вектора:

\((x_2 - x_1 + x_{B1} - x_{C1} + x_{D} - x_{D1} + x_{C} - x_{D}, y_2 - y_1 + y_{B1} - y_{C1} + y_{D} - y_{D1} + y_{C} - y_{D}, z_2 - z_1 + z_{B1} - z_{C1} + z_{D} - z_{D1} + z_{C} - z_{D})\).

4) При условии, что точка D лежит на стороне BC треугольника ABC и отношение BD:DC равно 1:2, мы можем выразить вектор BD через векторы b и c, зная, что AB=b и AC=c.

Мы знаем, что вектор BD является суммой векторов BC и CD:

BD = BC + CD.

Также нам дано, что точка D лежит на стороне BC треугольника ABC и отношение BD:DC равно 1:2. Мы можем использовать это соотношение, чтобы выразить векторы BC и CD через векторы b и c.

Представим векторы BC и CD в виде:

BC = \(k_1 \cdot b\),
CD = \(k_2 \cdot c\),

где \(k_1\) и \(k_2\) - коэффициенты пропорциональности.

Тогда мы можем записать:

BD = BC + CD = \(k_1 \cdot b\) + \(k_2 \cdot c\).

Нам также известно, что BD:DC = 1:2. Это означает, что:

BD = \(k_1 \cdot b\) = 2(\(k_2 \cdot c\)).

Мы можем решить эту систему уравнений для \(k_1\) и \(k_2\), зная, что AB=b и AC=c. После нахождения \(k_1\) и \(k_2\), мы можем выразить вектор BD через векторы b и c, заменяя коэффициенты в исходной формуле.

5) Чтобы разложить вектор BD по векторам BA и BC для параллелепипеда ABCDA1B1C1D1, мы можем использовать свойство разложения вектора на составляющие.

Вектор BD можно разложить на две составляющие: одна составляющая будет параллельна вектору BA, а другая - параллельна вектору BC.

Представим вектор BD в виде:

BD = \(k_1 \cdot BA\) + \(k_2 \cdot BC\),

где \(k_1\) и \(k_2\) - коэффициенты пропорциональности.

Мы знаем, что вектор BA имеет координаты \((x_1 - x_2, y_1 - y_2, z_1 - z_2)\), а вектор BC имеет координаты \((x_3 - x_2, y_3 - y_2, z_3 - z_2)\).

Подставляя эти значения, мы получим:

\((x_D - x_2, y_D - y_2, z_D - z_2) = k_1 \cdot (x_1 - x_2, y_1 - y_2, z_1 - z_2) + k_2 \cdot (x_3 - x_2, y_3 - y_2, z_3 - z_2)\).

Мы можем решить эту систему уравнений для \(k_1\) и \(k_2\), используя известные координаты точек ABCDA1B1C1D1. После нахождения \(k_1\) и \(k_2\), мы можем записать итоговое разложение вектора BD по векторам BA и BC:

BD = \(k_1 \cdot BA\) + \(k_2 \cdot BC\).