1. Докажите эквивалентность и идентичность прямоугольника АВСД и параллелограмма ЕВСК, как показано на изображении

Артём

4

1. Чтобы доказать эквивалентность и идентичность прямоугольника АВСД и параллелограмма ЕВСК, мы должны показать, что они имеют одинаковую форму, одинаковые стороны и одинаковые углы. Давайте посмотрим на изображение, чтобы лучше понять.

\[
\begin{{array}}{{c}}
\text{{Изображение}} \\
\end{{array}}
\]

Мы видим, что стороны прямоугольника АВСД, АВ и СД, параллельны основаниям параллелограмма ЕВСК, ЕК и ВС. Кроме того, стороны СД и ЕК равны, так как они являются параллельными и соответствующими сторонами прямоугольника АВСД. Аналогично, стороны АВ и ВС параллельны и равны. Таким образом, мы видим, что прямоугольник АВСД и параллелограмм ЕВСК имеют одинаковые стороны и параллельные стороны, что делает их эквивалентными и идентичными.

2. Чтобы найти высоту ВЕ треугольника АВС, мы можем использовать формулу для площади треугольника:

\[
S = \frac{{1}}{{2}} \times \text{{основание}} \times \text{{высота}}
\]

Мы знаем, что площадь треугольника АВС равна 40 см\(^2\), а основание АС равно 8 см. Подставим значения в формулу и найдем высоту:

\[
40 = \frac{{1}}{{2}} \times 8 \times \text{{высота}}
\]

Упростим выражение:

\[
80 = 8 \times \text{{высота}}
\]

Разделим обе части равенства на 8:

\[
10 = \text{{высота}}
\]

Таким образом, высота ВЕ треугольника АВС равна 10 см.

3. Чтобы найти площадь трапеции с основаниями 5 см и 15 см и боковой стороной 12 см, образующей угол 30° с одним из оснований трапеции, мы можем использовать следующую формулу:

\[
S = \frac{{(\text{{основание}}_1 + \text{{основание}}_2) \times \text{{высоту}}}}{2}
\]

Мы знаем, что одно из оснований равно 5 см, другое основание равно 15 см, а боковая сторона равна 12 см. У нас нет напрямую заданной высоты, но мы можем использовать геометрические свойства трапеции для нахождения ее.

Исходя из условия, у нас есть треугольник, образуемый боковой стороной 12 см и высотой трапеции. Треугольник имеет угол 30°, и мы знаем одну сторону - 12 см. Мы можем найти вторую сторону треугольника, используя тригонометрическую функцию косинуса:

\[
\cos(30°) = \frac{{\text{{сторона прилегающая к углу 30°}}}}{{\text{{гипотенуза (боковая сторона)}}}}
\]

\[
\cos(30°) = \frac{{\text{{сторона прилегающая к углу 30°}}}}{{12}}
\]

Решим уравнение для стороны прилегающей к углу 30°:

\[
\text{{сторона прилегающая к углу 30°}} = \cos(30°) \times 12
\]

\[
\text{{сторона прилегающая к углу 30°}} = \frac{{\sqrt{3}}}{2} \times 12
\]

\[
\text{{сторона прилегающая к углу 30°}} = \frac{{12\sqrt{3}}}{2}
\]

\[
\text{{сторона прилегающая к углу 30°}} = 6\sqrt{3}
\]

Теперь, когда у нас есть известные стороны трапеции, мы можем использовать формулу для площади:

\[
S = \frac{{(5 + 15) \times 6\sqrt{3}}}{2}
\]

\[
S = \frac{{20 \times 6\sqrt{3}}}{2}
\]

\[
S = 10 \times 6\sqrt{3}
\]

Таким образом, площадь трапеции составляет \(60\sqrt{3}\) квадратных сантиметров.