1. Используя данные для системы Земля—Луна, измените текст задания и предоставьте вариант. Какова масса Юпитера, если

Magnitnyy_Pirat

39

1. Исходя из информации о системе Земля—Луна, нам нужно найти массу Юпитера, основываясь на расстоянии его спутника от планеты и времени обращения спутника вокруг нее.

Для начала, обратим внимание на силу гравитационного притяжения между Юпитером и его спутником. По закону всемирного тяготения, сила гравитации между двумя телами пропорциональна их массам и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними.

Мы можем использовать второй закон Ньютона для нахождения силы гравитации \( F \), действующей на спутник:

\[ F = m \cdot a \]

где \( m \) - масса спутника, \( a \) - центростремительное ускорение движения спутника вокруг планеты.

Центростремительное ускорение мы можем выразить через период обращения спутника \( T \) и расстояние от центра планеты до спутника \( r \) следующей формулой:

\[ a = \frac{{4 \pi^2 r}}{{T^2}} \]

Теперь, имея уравнение для силы гравитации и выражение для ускорения, мы можем найти массу Юпитера \( M \):

\[ F = m \cdot a = G \cdot \frac{{M \cdot m}}{{r^2}} \]

где \( G \) - гравитационная постоянная.

Заменим значение \( a \) из предыдущего выражения и получим:

\[ G \cdot \frac{{M \cdot m}}{{r^2}} = m \cdot \frac{{4 \pi^2 r}}{{T^2}} \]

Сократим \( m \) на обеих сторонах и упростим выражение:

\[ G \cdot \frac{{M}}{{r^2}} = \frac{{4 \pi^2}}{{T^2}} \]

Наконец, найдем массу Юпитера:

\[ M = \frac{{4 \pi^2 r^3}}{{G \cdot T^2}} \]

Подставим в это выражение известные значения:

\[ M = \frac{{4 \pi^2 \cdot (422000\, \text{км})^3}}{{G \cdot (1.77\, \text{суток})^2}} \]

Полученный ответ будет отражать массу Юпитера, исходя из данных о его спутнике на заданном расстоянии.

2. Для расчета первой космической скорости на Марсе и Юпитере, мы можем использовать формулу:

\[ v = \sqrt{{g \cdot R}} \]

где \( v \) - первая космическая скорость, \( g \) - ускорение силы тяжести на планете, \( R \) - радиус планеты.

Для Марса:

\[ v_{\text{Марса}} = \sqrt{{3.7\, \text{м/с}^2 \cdot R_{\text{Марса}}}} \]

Для Юпитера:

\[ v_{\text{Юпитера}} = \sqrt{{25\, \text{м/с}^2 \cdot R_{\text{Юпитера}}}} \]

В итоге, мы получим первую космическую скорость для Марса и Юпитера, учитывая заданные значения ускорения силы тяжести на каждой планете.

3. Для приближенного определения продолжительности полета космического аппарата до Марса, известно, что его орбита является эллиптической с большой полуосью \( a \) в 1,25 а. е. (астрономических единиц).

Для получения времени полета, мы можем использовать закон Кеплера, который связывает период обращения планеты \( T \) и большую полуось ее орбиты \( a \):

\[ T^2 = k \cdot a^3 \]

где \( k \) - постоянная, зависящая от свойств планеты.

Для Марса:

\[ T_{\text{Марса}}^2 = k \cdot (1.25\, \text{а. е.})^3 \]

Таким образом, возможно определить приблизительное время полета космического аппарата до Марса, используя данную формулу и известные значения большой полуоси для Марса.