Кубик бросается два раза. Проведите анализ вероятностей случайной величины Х - количество выпадения двоек. Рассчитайте

Вечный_Сон

36

Хорошо, давайте рассмотрим данную задачу по шагам.

Шаг 1: Определение вероятностей
Сначала определим вероятности выпадения каждого из возможных исходов при бросании кубика. У нас есть 6 возможных исходов:
- Единица (1) может выпасть с вероятностью \(\frac{1}{6}\)
- Двойка (2) может выпасть с вероятностью \(\frac{1}{6}\)
- Тройка (3) может выпасть с вероятностью \(\frac{1}{6}\)
- Четвёрка (4) может выпасть с вероятностью \(\frac{1}{6}\)
- Пятёрка (5) может выпасть с вероятностью \(\frac{1}{6}\)
- Шестёрка (6) может выпасть с вероятностью \(\frac{1}{6}\)

Шаг 2: Анализ случайной величины Х
Теперь давайте проведем анализ случайной величины Х, которая представляет количество выпадения двоек при бросании кубика два раза. Чтобы определить все возможные значения Х, рассмотрим все комбинации выпадения двух бросков.

Существует три возможных исхода при двух бросках:
- 0 двоек - означает, что при обоих бросках не выпало ни одной двойки.
- 1 двойка - означает, что при одном из бросков выпала двойка, а при другом нет.
- 2 двойки - означает, что при обоих бросках выпала двойка.

Шаг 3: Расчет вероятностей
Теперь посчитаем вероятности каждого из возможных значений Х.

- 0 двоек: вероятность состоит из произведения вероятности выпадения недвойки (3/6) на вероятность выпадения недвойки во втором броске (3/6). Расчет будет следующим:
\[P(X=0) = \frac{3}{6} \times \frac{3}{6} = \frac{9}{36} = \frac{1}{4}\]

- 1 двойка: у нас есть две возможности, когда один из бросков является двойкой (исходы 2, 4 или 6). Вероятность каждого из этих исходов равна вероятности выпадения двойки (1/6) умноженной на вероятность выпадения недвойки (3/6) во втором броске. Расчет будет следующим:
\[P(X=1) = 2 \cdot \left( \frac{1}{6} \times \frac{3}{6} \right) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}\]

- 2 двойки: вероятность состоит из произведения вероятности выпадения двойки (1/6) на вероятность выпадения двойки во втором броске (1/6). Расчет будет следующим:
\[P(X=2) = \frac{1}{6} \times \frac{1}{6} = \frac{1}{36}\]

Шаг 4: Расчет математического ожидания и дисперсии
Теперь рассчитаем математическое ожидание и дисперсию случайной величины Х. Математическое ожидание (M) определяется как сумма произведений каждого значения Х на соответствующую вероятность:
\[M = 0 \cdot P(X=0) + 1 \cdot P(X=1) + 2 \cdot P(X=2)\]

Подставляя значения вероятностей, получим:
\[M = 0 \cdot \frac{1}{4} + 1 \cdot \frac{1}{6} + 2 \cdot \frac{1}{36}\]
\[M = \frac{1}{6} + \frac{2}{36} = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}\]

Далее, дисперсия (D) определяется как сумма произведений каждого значения Х, вычитаемого из математического ожидания, в квадрате, умноженном на соответствующую вероятность:
\[D = (0 - M)^2 \cdot P(X=0) + (1 - M)^2 \cdot P(X=1) + (2 - M)^2 \cdot P(X=2)\]

Подставляя значения вероятностей и математического ожидания, получим:
\[D = (0 - \frac{1}{6})^2 \cdot \frac{1}{4} + (1 - \frac{1}{6})^2 \cdot \frac{1}{6} + (2 - \frac{1}{6})^2 \cdot \frac{1}{36}\]
\[D = \frac{1}{36} \cdot \frac{1}{4} + \frac{25}{36} \cdot \frac{1}{6} + \frac{35}{36} \cdot \frac{1}{36}\]
\[D = \frac{1}{144} + \frac{25}{216} + \frac{35}{1296} = \frac{4}{144} + \frac{25}{216} + \frac{35}{1296}\]
\[D = \frac{72}{5184} + \frac{400}{5184} + \frac{35}{1296} = \frac{507}{5184} = \frac{169}{1728}\]

Шаг 5: Графическое представление
Для наглядности, давайте составим таблицу с результатами:

\[
\begin{array}{|c|c|}
\hline
\text{Значение } X & \text{Вероятность } P(X) \\
\hline
0 & \frac{1}{4} \\
\hline
1 & \frac{1}{6} \\
\hline
2 & \frac{1}{36} \\
\hline
\end{array}
\]

Таким образом, мы провели анализ вероятностей случайной величины X - количество выпадения двоек при бросании кубика два раза, рассчитали математическое ожидание и дисперсию с помощью формул и представили результаты в наглядном виде.