1) Как можно выразить площадь закрашенной части фигуры, используя данные о ее измерениях на рисунке (рис. 8)? 2) Можно

Шнур

21

1) Чтобы выразить площадь закрашенной части фигуры, давайте внимательно рассмотрим измерения на рисунке (рис. 8). На рисунке видно, что фигура состоит из двух прямоугольников и двух треугольников.

Давайте определим площадь каждой из этих частей по отдельности.

Площадь первого прямоугольника равна \(a \times b\), где \(a\) - длина и \(b\) - ширина.

Площадь второго прямоугольника равна \((a - 2c) \times (b - 2c)\), так как измерения на рисунке показывают, что из каждого измерения \(a\) и \(b\) вычитается два раза величина \(c\).

Площадь первого треугольника равна \(\frac{1}{2} \times c \times (b - 2c)\), так как это формула площади треугольника по базе и высоте.

Площадь второго треугольника также равна \(\frac{1}{2} \times c \times (a - 2c)\), так как основание и высота аналогичны первому треугольнику.

Теперь, чтобы получить площадь закрашенной части фигуры, нужно сложить площади всех этих частей:

Площадь закрашенной части фигуры = Площадь первого прямоугольника - Площадь первого треугольника + Площадь второго прямоугольника - Площадь второго треугольника

Подставив значения, получим:

Площадь закрашенной части фигуры = \(ab - \frac{1}{2}c(b - 2c) + (a - 2c)(b - 2c) - \frac{1}{2}c(a - 2c)\)

2) Чтобы показать, что равенство \(2bc + 2c(a - 2c) = 2ac + 2c(b - 2c)\) верно, давайте воспользуемся фигурой на рисунке.

На рисунке видно, что фигуру можно разделить на два прямоугольника и два треугольника.

Площадь первого прямоугольника равна \(a \times b\).

Площадь второго прямоугольника равна \(2c \times (a - 2c)\), так как фигура включает две секции шириной \(c\) и длиной \(a - 2c\).

Площадь первого треугольника равна \(\frac{1}{2} \times b \times c\), так как это формула площади треугольника по базе и высоте.

Площадь второго треугольника равна \(\frac{1}{2} \times (a - 2c) \times c\), так как основание и высота аналогичны первому треугольнику.

Теперь, чтобы доказать равенство, нужно сложить площади всех этих частей в левой и правой частях равенства:

Левая часть равенства: \(ab + 2c(a - 2c)\)

Правая часть равенства: \(2ac + 2c(b - 2c)\)

Мы видим, что в каждой части равенства присутствуют одинаковые слагаемые и их коэффициенты одинаковы, поэтому можно сделать вывод, что равенство верно.

3) Как можно представить формулу для вычисления площади закрашенной фигуры как разность площадей двух прямоугольников?

Для этого нужно в прямоугольнике с размерами \(a \times b\) выделить прямоугольник с размерами \((a - 2c) \times (b - 2c)\), оставив свободные рамки шириной \(c\) у основания и высотой.

Теперь, чтобы доказать равенство \(ab - (b - 2c)(a - 2c) = 2ac + 2c(b - 2c)\), воспользуемся фигурой на рисунке.

Площадь левой части равенства равна площади первого прямоугольника минус площадь второго прямоугольника (\(ab - (b - 2c)(a - 2c)\)).

Площадь правой части равенства равна сумме площади двух прямоугольников (\(2ac + 2c(b - 2c)\)).

Мы видим, что площадь левой и правой частей равна, что доказывает равенство.