1) Как найти dz/du, dz/dv для функции z=x^2*lny, где x=u/v и y=3u-3v? 2) Как найти частные производные неявно заданной

Магнитный_Магнат

53

Конечно! Давайте рассмотрим каждую задачу подробно.

1) Для начала определим функцию z в терминах переменных u и v, используя заданные выражения для x и y. Запишем функцию z как z(u, v):

\[ z(u, v) = (u/v)^2 \cdot \ln(3u - 3v) \]

Теперь можем найти частные производные dz/du и dz/dv. Для этого применим правило дифференцирования сложной функции.

a) Частная производная dz/du:

Для нахождения частной производной dz/du, нам необходимо продифференцировать функцию z(u, v) по переменной u, считая переменную v постоянной. Применим правило дифференцирования сложной функции:

\[ \frac{dz}{du} = \frac{\partial z}{\partial u} = \frac{\partial z}{\partial x} \cdot \frac{dx}{du} + \frac{\partial z}{\partial y} \cdot \frac{dy}{du} \]

Вычислим каждое слагаемое по отдельности:

\[ \frac{\partial z}{\partial x} = 2x \cdot \ln(3u - 3v) \]
\[ \frac{dx}{du} = \frac{1}{v} \]
\[ \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{x^2}{3u - 3v} \cdot \frac{d}{dy}(\ln(3u - 3v)) \]
\[ \frac{dy}{du} = 3 \]

Теперь можем рассчитать частную производную dz/du, подставив значения:

\[ \frac{dz}{du} = \left(2x \cdot \ln(3u - 3v)\right) \cdot \left(\frac{1}{v}\right) + \left(\frac{x^2}{3u - 3v} \cdot \frac{d}{dy}(\ln(3u - 3v))\right) \cdot 3 \]

Теперь заменим выражения для x и y:

\[ \frac{dz}{du} = \left(2\left(\frac{u}{v}\right) \cdot \ln(3u - 3v)\right) \cdot \left(\frac{1}{v}\right) + \left(\frac{\left(\frac{u}{v}\right)^2}{3u - 3v} \cdot \frac{d}{dy}(\ln(3u - 3v))\right) \cdot 3 \]

b) Частная производная dz/dv:

Для нахождения частной производной dz/dv, нам необходимо продифференцировать функцию z(u, v) по переменной v, считая переменную u постоянной. Используем правило дифференцирования сложной функции для этого:

\[ \frac{dz}{dv} = \frac{\partial z}{\partial v} = \frac{\partial z}{\partial x} \cdot \frac{dx}{dv} + \frac{\partial z}{\partial y} \cdot \frac{dy}{dv} \]

Вычислим каждое слагаемое по отдельности:

\[ \frac{\partial z}{\partial x} = 2x \cdot \ln(3u - 3v) \]
\[ \frac{dx}{dv} = -\frac{u}{v^2} \]
\[ \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{x^2}{3u - 3v} \cdot \frac{d}{dy}(\ln(3u - 3v)) \]
\[ \frac{dy}{dv} = -3 \]

Теперь можем рассчитать частную производную dz/dv, подставив значения:

\[ \frac{dz}{dv} = \left(2x \cdot \ln(3u - 3v)\right) \cdot \left(-\frac{u}{v^2}\right) + \left(\frac{x^2}{3u - 3v} \cdot \frac{d}{dy}(\ln(3u - 3v))\right) \cdot (-3) \]

Теперь заменим выражения для x и y:

\[ \frac{dz}{dv} = \left(2\left(\frac{u}{v}\right) \cdot \ln(3u - 3v)\right) \cdot \left(-\frac{u}{v^2}\right) + \left(\frac{\left(\frac{u}{v}\right)^2}{3u - 3v} \cdot \frac{d}{dy}(\ln(3u - 3v))\right) \cdot (-3) \]

2) Теперь рассмотрим задачу с неявно заданной функцией.

\[ x^2 \cdot z^2 - y^2 \cdot z^2 - e^{xyz} = a \]

Для этого, нам необходимо найти частные производные функции z(x, y). Применим правило дифференцирования неявной функции к данному уравнению:

\[ \frac{\partial F}{\partial x} \cdot \frac{\partial z}{\partial x} + \frac{\partial F}{\partial y} \cdot \frac{\partial z}{\partial y} + \frac{\partial F}{\partial z} = 0 \]

где \( F = x^2 \cdot z^2 - y^2 \cdot z^2 - e^{xyz} - a \).

Вычислим каждое слагаемое по отдельности:

\[ \frac{\partial F}{\partial x} = 2xz^2 + y^2 z^2 - yze^{xyz} \]
\[ \frac{\partial F}{\partial y} = -2y z^2 - x^2 z^2 - xze^{xyz} \]
\[ \frac{\partial F}{\partial z} = 2xz - 2yz - xye^{xyz} \]

Теперь рассчитаем частные производные \(\frac{\partial z}{\partial x}\) и \(\frac{\partial z}{\partial y}\) из уравнения, подставив значения:

\[ \left(2xz^2 + y^2 z^2 - yze^{xyz}\right) \cdot \frac{\partial z}{\partial x} + \left(-2y z^2 - x^2 z^2 - xze^{xyz}\right) \cdot \frac{\partial z}{\partial y} + \left(2xz - 2yz - xye^{xyz}\right) = 0 \]

Теперь выразим частные производные \(\frac{\partial z}{\partial x}\) и \(\frac{\partial z}{\partial y}\):

\[ \left(2xz^2 + y^2 z^2 - yze^{xyz}\right) \cdot \frac{\partial z}{\partial x} + \left(-2y z^2 - x^2 z^2 - xze^{xyz}\right) \cdot \frac{\partial z}{\partial y} = 2yz - 2xz + xye^{xyz} \]

Таким образом, мы получили систему уравнений для нахождения частных производных \(\frac{\partial z}{\partial x}\) и \(\frac{\partial z}{\partial y}\):

\[ \begin{cases}
2xz^2 + y^2 z^2 - yze^{xyz} \cdot \frac{\partial z}{\partial x} + (-2y z^2 - x^2 z^2 - xze^{xyz}) \cdot \frac{\partial z}{\partial y} = 2yz - 2xz + xye^{xyz} \\
x^2 \cdot z^2 - y^2 \cdot z^2 - e^{xyz} - a = 0
\end{cases} \]

Эту систему уравнений можно решить численно или с помощью метода Ньютона для нелинейных уравнений. Однако, из-за сложности аналитического решения данной системы, я не могу дать исчерпывающий ответ в рамках этого задания.

Надеюсь, что это решение поможет вам понять данную математическую задачу! Если у вас возникнут дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать.