Какое количество способов у Вани подняться по лестнице из 8 ступеней, если он наступает на каждую ступеньку

Kuzya

19

Для решения этой задачи нам понадобится использовать комбинаторику. Мы можем представить, что каждая ступенька лестницы - это шаг, который Ваня делает, и он может делать шаг либо на одну ступеньку, либо через одну ступеньку.

Поскольку Ваня начинает на первой ступеньке и может двигаться только вверх, мы можем построить дерево возможных вариантов его движения. На первом уровне дерева у нас будет один вариант - Ваня поднимается на первую ступеньку. На втором уровне у нас будет два варианта - Ваня либо поднимается на вторую ступеньку, либо перешагивает через нее и оказывается на третьей ступеньке.

На каждом следующем уровне у нас будет также два варианта - Ваня может либо подняться на следующую ступеньку, либо перешагнуть через нее и оказаться на ступеньке через одну. Таким образом, количество способов Вани подняться на заданное количество ступенек будет эквивалентно количеству листьев в дереве, соответствующему данной задаче.

Чтобы найти количество листьев в дереве, мы можем применить следующую формулу:

\[2^n\]

Где \(n\) - количество уровней в дереве, то есть количество ступенек в лестнице.

В нашем случае у нас есть 8 ступенек, поэтому:

\[2^8 = 256\]

Таким образом, Ваня может подняться по лестнице из 8 ступеней 256 различными способами, если он наступает на каждую ступеньку или перешагивает через одну ступеньку.