1. Какая будет максимальная скорость скумбрии в косяке относительно воды, когда они запутывают нападающую акулу

Lisenok

47

1. Для определения максимальной скорости скумбрии в косяке относительно воды при формировании вертикально вращающегося цилиндра, мы можем использовать закон сохранения углового момента. Угловой момент системы останется постоянным.

Угловой момент вращения цилиндра выражается умножением момента инерции цилиндра на его угловую скорость:
\[L_{1} = I_{1} \cdot \omega\]

Угловой момент скумбрий равен произведению их массы на их радиус и на их угловую скорость:
\[L_{2} = m_{2} \cdot r_{2} \cdot \omega\]

Так как угловой момент системы должен сохраняться, мы можем приравнять оба уравнения:
\[I_{1} \cdot \omega = m_{2} \cdot r_{2} \cdot \omega\]

Для определения максимальной скорости скумбрии относительно воды, мы исходим из предположения, что их скорость относительно цилиндра равна 0. Мы можем использовать закон сохранения энергии, который гласит, что сумма кинетической энергии и потенциальной энергии остается постоянной.

Сумма кинетической энергии и потенциальной энергии первой скумбрии:
\[E_{1} = \frac{1}{2} m_{1} u_{1}^{2} + m_{1} g h_{1}\]

Где \(m_{1}\) - масса первой скумбрии, \(u_{1}\) - скорость первой скумбрии относительно цилиндра, \(g\) - ускорение свободного падения, \(h_{1}\) - высота первой скумбрии относительно начальной позиции.

Сумма кинетической энергии и потенциальной энергии второй скумбрии:
\[E_{2} = \frac{1}{2} m_{2} u_{2}^{2} + m_{2} g h_{2}\]

Где \(m_{2}\) - масса второй скумбрии, \(u_{2}\) - скорость второй скумбрии относительно цилиндра, \(h_{2}\) - высота второй скумбрии относительно начальной позиции.

Таким образом, мы имеем следующую систему уравнений:
\[\begin{cases} I_{1} \cdot \omega = m_{2} \cdot r_{2} \cdot \omega \\ \frac{1}{2} m_{1} u_{1}^{2} + m_{1} g h_{1} = \frac{1}{2} m_{2} u_{2}^{2} + m_{2} g h_{2} \end{cases}\]

Решая эту систему уравнений, мы получим скорость скумбрии относительно воды в косяке.

2. Чтобы найти максимальное расстояние между скумбриями при разнице их скоростей относительно воды в 2 раза, мы можем использовать закон сохранения энергии.

Сумма кинетической энергии и потенциальной энергии первой скумбрии:
\[E_{1} = \frac{1}{2} m_{1} u_{1}^{2} + m_{1} g h_{1}\]

Сумма кинетической энергии и потенциальной энергии второй скумбрии:
\[E_{2} = \frac{1}{2} m_{2} u_{2}^{2} + m_{2} g h_{2}\]

Мы можем предположить, что в начальный момент времени обе скумбрии находятся на одинаковой высоте и имеют одинаковую потенциальную энергию.

\[E_{1i} = E_{2i}\]

Также у нас есть условие, что скорость второй скумбрии в 2 раза больше скорости первой скумбрии.

\[u_{2} = 2u_{1}\]

Подставляя второе уравнение в первое, мы можем найти значения скоростей:

\[\frac{1}{2} m_{1} u_{1i}^{2} + m_{1} g h_{1i} = \frac{1}{2} m_{2} (2u_{1i})^{2} + m_{2} g h_{2i}\]

Для нахождения максимального расстояния между скумбриями мы можем использовать закон сохранения энергии и выразить расстояние в терминах скоростей и высот:

\[E_{1} = E_{2} \implies \frac{1}{2} m_{1} u_{1}^{2} + m_{1} g h_{1} = \frac{1}{2} m_{2} u_{2}^{2} + m_{2} g h_{2}\]

Затем мы можем решить полученное уравнение относительно расстояния \(d\), центра масс системы скумбрий, используя формулу для потенциальной энергии. Мы учитываем, что расстояние между скумбриями равно сумме радиусов скумбрий и расстоянию между центрами масс скумбрий.

3. Минимальное расстояние между двумя скумбриями может быть определено, когда их скорости относительно воды отличаются в 2 раза.

Мы можем использовать закон сохранения энергии для определения минимального расстояния между скумбриями. Потенциальная энергия скумбрий должна быть равной исходной, так как они находятся на одной и той же высоте в начальный момент времени.

\[m_{1} g h_{1i} = m_{2} g h_{2i}\]

Также у нас есть условие для скоростей:

\[u_{2} = 2u_{1}\]

Мы можем найти значения скоростей используя закон сохранения энергии:

\[\frac{1}{2} m_{1} u_{1i}^{2} + m_{1} g h_{1i} = \frac{1}{2} m_{2} u_{2i}^{2} + m_{2} g h_{2i}\]

Решив это уравнение относительно расстояния \(d\), которое составляет расстояние между центрами масс скумбрий, мы можем определить минимальное расстояние между скумбриями. Учтите, что минимальное расстояние будет достигаться в тот момент, когда скорости наиболее различаются.