1. Какая площадь полной поверхности и объем тела получаются при вращении прямоугольника со сторонами 4 см и 8 см вокруг

Сквозь_Тьму

60

1. Чтобы найти площадь полной поверхности и объем тела, образованного вращением прямоугольника со сторонами 4 см и 8 см вокруг его оси симметрии, достаточно использовать формулы для поверхности вращения и объема.

Площадь полной поверхности \(S\) тела, образованного вращением прямоугольника, можно найти по следующей формуле:
\[S = 2\pi r l + 2\pi r^2\]
где \(r\) - радиус вращения, а \(l\) - длина прямоугольника.

Объем \(V\) тела, образованного вращением прямоугольника, можно найти по формуле:
\[V = \pi r^2 h\]
где \(h\) - высота прямоугольника.

Для данной задачи, радиус вращения равен половине большей стороны прямоугольника, то есть \(r = \frac{8}{2} = 4\) см. Длина прямоугольника \(l\) равна меньшей стороне, то есть 4 см. Высота прямоугольника равна большей стороне, то есть 8 см.

Теперь можем найти площадь полной поверхности \(S\):
\[S = 2\pi \cdot 4 \cdot 4 + 2\pi \cdot 4^2 = 32\pi + 32\pi = 64\pi\]

А также объем \(V\):
\[V = \pi \cdot 4^2 \cdot 8 = 128\pi\]

Итак, площадь полной поверхности равна \(64\pi\) квадратных сантиметра, а объем равен \(128\pi\) кубических сантиметров.

2. Для расчета площади полной поверхности и объема тела, полученного при вращении прямоугольника с катетом 4 см и гипотенузой 5 см вокруг его катета, мы можем использовать те же формулы, что и в предыдущей задаче.

Радиус вращения \(r\) равен длине катета, то есть \(r = 4\) см. Длина прямоугольника \(l\) равна гипотенузе, то есть 5 см. Высота прямоугольника равна катету, то есть 4 см.

Площадь полной поверхности \(S\) равна:
\[S = 2\pi \cdot 4 \cdot 5 + 2\pi \cdot 4^2 = 40\pi + 32\pi = 72\pi\]

Объем \(V\) равен:
\[V = \pi \cdot 4^2 \cdot 4 = 64\pi\]

Итак, площадь полной поверхности равна \(72\pi\) квадратных сантиметра, а объем равен \(64\pi\) кубических сантиметров.

3. Для расчета объема и площади поверхности шара с радиусом 5 см, мы можем использовать соответствующие формулы для шара.

Объем \(V\) шара равен:
\[V = \frac{4}{3} \pi r^3\]

Площадь поверхности \(S\) шара равна:
\[S = 4 \pi r^2\]

Для данной задачи, радиус \(r\) равен 5 см.

Объем \(V\) шара:
\[V = \frac{4}{3} \pi \cdot 5^3 = \frac{500}{3} \pi\]

Площадь поверхности \(S\) шара:
\[S = 4 \pi \cdot 5^2 = 100 \pi\]

Таким образом, объем шара равен \(\frac{500}{3} \pi\) кубических сантиметров, а площадь поверхности равна \(100 \pi\) квадратных сантиметров.

4. Уравнение сферы с центром в точке \((x_0, y_0, z_0)\) и радиусом \(r\) может быть записано в виде:
\[(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 = r^2\]

Для данной задачи, центр сферы находится в точке А(-1;-2;4), а радиус \(r\) равен 3 дм.

Тогда уравнение сферы будет:
\((x - (-1))^2 + (y - (-2))^2 + (z - 4)^2 = 3^2\)
\((x + 1)^2 + (y + 2)^2 + (z - 4)^2 = 9\)

Таким образом, уравнение сферы с центром в точке А(-1;-2;4) и радиусом 3 дм будет \((x + 1)^2 + (y + 2)^2 + (z - 4)^2 = 9\).

5. Для расчета радиуса шара, объем которого равен суммарному объему двух заданных шаров, мы можем использовать формулу объема шара:
\[V = \frac{4}{3} \pi r^3\]

Дано, что радиус первого шара равен 3 мм, а радиус второго шара равен 4 мм.

Общий объем шаров равен сумме объемов этих шаров. Поэтому:
\[\frac{4}{3} \pi r^3_1 + \frac{4}{3} \pi r^3_2 = \frac{4}{3} \pi r^3\]

Подставляя радиусы первого и второго шаров, получаем:
\[\frac{4}{3} \pi \cdot 3^3 + \frac{4}{3} \pi \cdot 4^3 = \frac{4}{3} \pi r^3\]

Решая это уравнение относительно радиуса шара \(r\), получаем:
\[r^3 = \frac{3}{4} \left(\frac{4}{3} \pi \cdot 3^3 + \frac{4}{3} \pi \cdot 4^3\right)\]
\[r = \sqrt[3]{\frac{3}{4} \left(\frac{4}{3} \pi \cdot 3^3 + \frac{4}{3} \pi \cdot 4^3\right)}\]

Вычисляя данное выражение, получаем численное значение радиуса шара.