1. Какие условия позволяют дифференцируемой функции иметь экстремум? 2. Что показывает график производной функции

Zarina_3324

12

1. Условия, позволяющие дифференцируемой функции иметь экстремум, следующие:

- Необходимо, чтобы функция была дифференцируемой в заданной точке и в окрестности этой точки.
- Функция должна иметь нулевую производную в точке экстремума.
- Производная функции должна менять свой знак в точке экстремума (от положительного к отрицательному при максимуме и наоборот).

2. График производной функции показывает изменение склона и направление изменения исходной функции на соответствующем интервале. Чтобы определить промежутки возрастания и убывания функции, необходимо:

- Найти точки, в которых производная равна нулю или не существует.
- Между этими точками выбрать произвольные значения интервалов на числовой прямой и определить знак производной на этих интервалах.
- Если производная положительна на интервале, то функция возрастает на данном интервале.
- Если производная отрицательна на интервале, то функция убывает на данном интервале.

3. Для функции $f(x)=x^3-2x^2+x+3$ выполним следующие задачи:

а) Чтобы найти экстремумы функции, необходимо найти точки, в которых производная равна нулю или не существует. Давайте найдем производную функции:

$$f"(x)=3x^2-4x+1$$

чтобы найти экстремумы, решим уравнение:

$$3x^2-4x+1=0$$

решением этого квадратного уравнения будет $x_1=\frac{1}{3}$ и $x_2=1$.

Чтобы определить, является ли каждая точка экстремумом, вычислим вторую производную:

$$f""(x)=6x-4$$

Подставим найденные значения $x_1$ и $x_2$:

$$f""\left(\frac{1}{3}\right)=-2$$
$$f""(1)=2$$

Так как $f""(\frac{1}{3})<0$ и $f""(1)>0$, то точка $x_1=\frac{1}{3}$ является точкой максимума, а точка $x_2=1$ является точкой минимума.

б) Чтобы найти интервалы возрастания и убывания функции, нужно проанализировать знак производной на разных интервалах. Для этого составим таблицу знаков:

$$\begin{array}{|cccc|}\hline \text{Интервал}& (-\mathrm{\infty },\frac{1}{3})& (\frac{1}{3},1)& (1,+\mathrm{\infty })\\ f"(x)& -& +& +\\ \text{Функция}& \searrow & \nearrow & \nearrow \\ \hline\end{array}$$

Таким образом, функция $f(x)$ убывает на интервале $(-\mathrm{\infty },\frac{1}{3})$ и возрастает на интервалах $(\frac{1}{3},1)$ и $(1,+\mathrm{\infty })$.

в) Чтобы найти точки перегиба, нужно найти значения $x$, где вторая производная равна нулю или не существует. Решим уравнение:

$$6x-4=0$$

получим $x=\frac{2}{3}$. Таким образом, точка перегиба находится при $x=\frac{2}{3}$.

г) Чтобы построить график функции $f(x)$, нужно учитывать экстремумы и точки перегиба. Для этого, используем полученные значения. Выглядеть график функции можно с помощью графического пакета, а также можно указать значения функции на некоторых точках.

д) Чтобы найти наибольшее и наименьшее значение функции $f(x)$, подставим экстремумы в исходную функцию:

Для нахождения наибольшего значения:
$$f\left(\frac{1}{3}\right)={\left(\frac{1}{3}\right)}^3-2{\left(\frac{1}{3}\right)}^2+\frac{1}{3}+3\approx 3.037$$

Для нахождения наименьшего значения:
$$f(1)=1^3-2\cdot 1^2+1+3=3$$

Таким образом, наибольшее значение функции $f(x)$ равно приблизительно 3.037, а наименьшее значение равно 3.

Если у вас возникли дополнительные вопросы или вам требуется дополнительная помощь, пожалуйста, не стесняйтесь задавать. Я всегда готов помочь.