1. Какие условия позволяют дифференцируемой функции иметь экстремум? 2. Что показывает график производной функции

Zarina_3324

12

1. Условия, позволяющие дифференцируемой функции иметь экстремум, следующие:

- Необходимо, чтобы функция была дифференцируемой в заданной точке и в окрестности этой точки.
- Функция должна иметь нулевую производную в точке экстремума.
- Производная функции должна менять свой знак в точке экстремума (от положительного к отрицательному при максимуме и наоборот).

2. График производной функции показывает изменение склона и направление изменения исходной функции на соответствующем интервале. Чтобы определить промежутки возрастания и убывания функции, необходимо:

- Найти точки, в которых производная равна нулю или не существует.
- Между этими точками выбрать произвольные значения интервалов на числовой прямой и определить знак производной на этих интервалах.
- Если производная положительна на интервале, то функция возрастает на данном интервале.
- Если производная отрицательна на интервале, то функция убывает на данном интервале.

3. Для функции \(f(x) = x^3 - 2x^2 + x + 3\) выполним следующие задачи:

а) Чтобы найти экстремумы функции, необходимо найти точки, в которых производная равна нулю или не существует. Давайте найдем производную функции:

\[f"(x) = 3x^2 - 4x + 1\]

чтобы найти экстремумы, решим уравнение:

\[3x^2 - 4x + 1 = 0\]

решением этого квадратного уравнения будет \(x_1 = \frac{1}{3}\) и \(x_2 = 1\).

Чтобы определить, является ли каждая точка экстремумом, вычислим вторую производную:

\[f""(x) = 6x - 4\]

Подставим найденные значения \(x_1\) и \(x_2\):

\[f""\left(\frac{1}{3}\right) = -2\]
\[f""(1) = 2\]

Так как \(f""(\frac{1}{3}) < 0\) и \(f""(1) > 0\), то точка \(x_1 = \frac{1}{3}\) является точкой максимума, а точка \(x_2 = 1\) является точкой минимума.

б) Чтобы найти интервалы возрастания и убывания функции, нужно проанализировать знак производной на разных интервалах. Для этого составим таблицу знаков:

\[
\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
\text{Интервал} & (-\infty, \frac{1}{3}) & (\frac{1}{3}, 1) & (1, +\infty) \\
\hline
f"(x) & - & + & + \\
\hline
\text{Функция} & \searrow & \nearrow & \nearrow \\
\hline
\end{array}
\]

Таким образом, функция \(f(x)\) убывает на интервале \((-\infty, \frac{1}{3})\) и возрастает на интервалах \((\frac{1}{3}, 1)\) и \((1, +\infty)\).

в) Чтобы найти точки перегиба, нужно найти значения \(x\), где вторая производная равна нулю или не существует. Решим уравнение:

\[6x - 4 = 0\]

получим \(x = \frac{2}{3}\). Таким образом, точка перегиба находится при \(x = \frac{2}{3}\).

г) Чтобы построить график функции \(f(x)\), нужно учитывать экстремумы и точки перегиба. Для этого, используем полученные значения. Выглядеть график функции можно с помощью графического пакета, а также можно указать значения функции на некоторых точках.

д) Чтобы найти наибольшее и наименьшее значение функции \(f(x)\), подставим экстремумы в исходную функцию:

Для нахождения наибольшего значения:
\[f\left(\frac{1}{3}\right) = \left(\frac{1}{3}\right)^3 - 2\left(\frac{1}{3}\right)^2 + \frac{1}{3} + 3 \approx 3.037\]

Для нахождения наименьшего значения:
\[f(1) = 1^3 - 2 \cdot 1^2 + 1 + 3 = 3\]

Таким образом, наибольшее значение функции \(f(x)\) равно приблизительно 3.037, а наименьшее значение равно 3.

Если у вас возникли дополнительные вопросы или вам требуется дополнительная помощь, пожалуйста, не стесняйтесь задавать. Я всегда готов помочь.