1. Каким образом можно представить граф отношения равенства на множестве дробей {3/4, 1/5, 9/12, 5/25, 12/6}? Какие

Arbuz

35

1. Граф отношения равенства на данном множестве дробей можно представить следующим образом:

\[
\require{AMScd}
\begin{CD}
\frac{3}{4} @>>> \frac{1}{5} \\
@VVV @VVV \\
\frac{9}{12} @>>> \frac{5}{25} \\
@AAA @AAA \\
\frac{12}{6}
\end{CD}
\]

В данном графе каждая дробь соединена с другими дробями, с которыми она равна. Например, дробь \(\frac{3}{4}\) равна \(\frac{9}{12}\), поэтому между ними есть направленное ребро. Таким образом, граф отношения равенства позволяет наглядно представить, какие дроби равны между собой.

Особенности, связанные с этим графом, включают в себя:
- Наличие петель: например, дробь \(\frac{12}{6}\) равна сама себе, поэтому имеет петлю.
- Наличие кратных ребер: например, имеется две пары дробей, которые равны между собой (\(\frac{3}{4}\) и \(\frac{9}{12}\), а также \(\frac{1}{5}\) и \(\frac{5}{25}\)), поэтому между ними есть кратные ребра.
- Замкнутость: в данном графе отношения равенства можно заметить замкнутую цепочку равных дробей \(\frac{3}{4}\) - \(\frac{9}{12}\) - \(\frac{5}{25}\), что означает, что все эти дроби равны между собой.

2. Для нахождения дроби, приведенной к наименьшему общему знаменателю, мы используем следующие шаги:

а) Дроби \(\frac{1}{3}\) и \(\frac{1}{102}\):
Наименьший общий знаменатель (НОЗ) для чисел 3 и 102 равен 306. Чтобы привести дроби к знаменателю 306, нам необходимо умножить числитель и знаменатель первой дроби на 102, а числитель и знаменатель второй дроби на 3:

\[
\frac{1}{3} = \frac{1 \times 102}{3 \times 102} = \frac{102}{306}
\]
\[
\frac{1}{102} = \frac{1 \times 3}{102 \times 3} = \frac{3}{306}
\]

Таким образом, пара дробей \(\frac{1}{3}\) и \(\frac{1}{102}\) после приведения к наименьшему общему знаменателю становится \(\frac{102}{306}\) и \(\frac{3}{306}\).

б) Дроби \(\frac{7}{16}\) и \(\frac{5}{844}\):
Наименьший общий знаменатель (НОЗ) для чисел 16 и 844 равен 13472. Чтобы привести дроби к знаменателю 13472, нам необходимо умножить числитель и знаменатель первой дроби на 844, а числитель и знаменатель второй дроби на 16:

\[
\frac{7}{16} = \frac{7 \times 844}{16 \times 844} = \frac{5948}{13472}
\]
\[
\frac{5}{844} = \frac{5 \times 16}{844 \times 16} = \frac{80}{13472}
\]

Таким образом, пара дробей \(\frac{7}{16}\) и \(\frac{5}{844}\) после приведения к наименьшему общему знаменателю становится \(\frac{5948}{13472}\) и \(\frac{80}{13472}\).

в) Дроби \(\frac{15}{171}\) и \(\frac{23}{270}\):
Наименьший общий знаменатель (НОЗ) для чисел 171 и 270 равен 4590. Чтобы привести дроби к знаменателю 4590, нам необходимо умножить числитель и знаменатель первой дроби на 270, а числитель и знаменатель второй дроби на 171:

\[
\frac{15}{171} = \frac{15 \times 270}{171 \times 270} = \frac{4050}{4590}
\]
\[
\frac{23}{270} = \frac{23 \times 171}{270 \times 171} = \frac{3933}{4590}
\]

Таким образом, пара дробей \(\frac{15}{171}\) и \(\frac{23}{270}\) после приведения к наименьшему общему знаменателю становится \(\frac{4050}{4590}\) и \(\frac{3933}{4590}\).

3. Для нахождения несократимой дроби, равной заданной, мы используем следующий алгоритм:

а) Дробь \(\frac{108}{144}\):
Чтобы найти несократимую дробь, мы должны найти их наибольший общий делитель (НОД) и поделить числитель и знаменатель на этот НОД:

Наибольший общий делитель (НОД) для чисел 108 и 144 равен 36. Деля числитель и знаменатель на 36, получаем:

\[
\frac{108}{144} = \frac{\frac{108}{36}}{\frac{144}{36}} = \frac{3}{4}
\]

Таким образом, несократимая дробь, равная \(\frac{108}{144}\), это \(\frac{3}{4}\).

б) Дробь \(\frac{402}{455}\):
Наибольший общий делитель (НОД) для чисел 402 и 455 равен 1, так как эти числа не имеют общих делителей, кроме 1. Поделив числитель и знаменатель на 1, получаем:

\[
\frac{402}{455} = \frac{\frac{402}{1}}{\frac{455}{1}} = \frac{402}{455}
\]

Таким образом, несократимая дробь, равная \(\frac{402}{455}\), это \(\frac{402}{455}\) сама себе.

в) Дробь \(\frac{780}{2730}\):
Наибольший общий делитель (НОД) для чисел 780 и 2730 равен 30. Деля числитель и знаменатель на 30, получаем:

\[
\frac{780}{2730} = \frac{\frac{780}{30}}{\frac{2730}{30}} = \frac{26}{91}
\]

Таким образом, несократимая дробь, равная \(\frac{780}{2730}\), это \(\frac{26}{91}\).

г) Дробь \(\frac{(45 \times 56 + 45 \times 14)}{(70 \times 72)}\):
Сначала выполняем арифметические действия в числителе и знаменателе:

\[
\frac{(45 \times 56 + 45 \times 14)}{(70 \times 72)} = \frac{2520+630}{5040} = \frac{3150}{5040}
\]

Затем, находим их наибольший общий делитель (НОД) и делим числитель и знаменатель на этот НОД:

Наибольший общий делитель (НОД) для чисел 3150 и 5040 равен 630. Деля числитель и знаменатель на 630, получаем:

\[
\frac{3150}{5040} = \frac{\frac{3150}{630}}{\frac{5040}{630}} = \frac{5}{8}
\]

Таким образом, несократимая дробь, равная \(\frac{(45 \times 56 + 45 \times 14)}{(70 \times 72)}\), это \(\frac{5}{8}\).

д) Дробь \(\frac{(38 \times 53 - 38 \times 25)}{(19 \times 42)}\):
Сначала выполняем арифметические действия в числителе и знаменателе:

\[
\frac{(38 \times 53 - 38 \times 25)}{(19 \times 42)} = \frac{2024 - 950}{798} = \frac{1074}{798}
\]

Находим их наибольший общий делитель (НОД) и делим числитель и знаменатель на этот НОД:

Наибольший общий делитель (НОД) для чисел 1074 и 798 равен 6. Деля числитель и знаменатель на 6, получаем:

\[
\frac{1074}{798} = \frac{\frac{1074}{6}}{\frac{798}{6}} = \frac{179}{133}
\]

Таким образом, несократимая дробь, равная \(\frac{(38 \times 53 - 38 \times 25)}{(19 \times 42)}\), это \(\frac{179}{133}\).

4. Для выбора единицы длины и построения отрезка, длина которого выражается дробью, мы должны рассмотреть знаменатель дроби:

а) Дробь \(\frac{15}{4}\):
Длину отрезка, равную дроби \(\frac{15}{4}\), можно выбрать, например, равной 4. Таким образом, построим отрезок длиной 4 единицы, которое будет эквивалентно дроби \(\frac{15}{4}\).

б) Дробь \(\frac{17}{3}\):
Длину отрезка, равную дроби \(\frac{17}{3}\), можно выбрать, например, равной 3. Таким образом, построим отрезок длиной 3 единицы, которое будет эквивалентно дроби \(\frac{17}{3}\).

Помните, что в реальной жизни мы можем использовать разные единицы измерения, а в этом случае выбор единицы зависит от задачи или контекста, в котором она задана.