1) Какое количество перестановок цифр будут сохранять число 3334 неизменным? 2) Сколько существует перестановок букв

Амина_1499

56

Задача 1:
Для решения этой задачи, давайте сначала выясним, какие перестановки цифр приводят к изменению числа 3334.

Исходное число 3334 имеет 4 различные цифры - 3, 3, 3 и 4. Чтобы число осталось неизменным, необходимо, чтобы после перестановки цифр, они остались в том же самом порядке.

Для этого возьмем каждую цифру по очереди и посмотрим, сколько вариантов перестановок остаются для остальных цифр.

Первая цифра - 3. В числе 3334 две другие цифры, также равные 3. Мы можем поместить первую тройку на одну из трех позиций: первую, вторую или третью. Таким образом, есть 3 варианта размещения первой цифры.

Вторая цифра - 3. Осталось две цифры, также равные 3. Мы можем поместить вторую тройку на одну из двух оставшихся позиций. Таким образом, есть 2 варианта размещения второй цифры.

Третья цифра - 3. Осталась одна цифра, которая равна 3. Мы можем поместить третью тройку на оставшуюся позицию. Таким образом, есть 1 вариант размещения третьей цифры.

Четвертая цифра - 4. Она является единственной цифрой такого вида в числе 3334, поэтому она должна занимать последнюю позицию.

Итак, у нас есть 3 варианта для первой цифры, 2 варианта для второй цифры, 1 вариант для третьей цифры и 1 вариант для четвертой цифры. Чтобы получить общее количество перестановок, умножим все эти варианты:

\(3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 1 = 6\)

Таким образом, существует 6 перестановок цифр, которые сохраняют число 3334 неизменным.

Ответ: 6

Задача 2:
Чтобы найти количество перестановок букв в слове "комбинаторика", которые не изменяют его, мы можем использовать аналогичный подход.

Исходное слово "комбинаторика" содержит 12 букв, среди которых есть повторяющиеся буквы - "о" и "и". Чтобы перестановка оставала слово без изменений, необходимо, чтобы буквы оставались в том же самом порядке.

Примечание: Для удобства обозначим повторяющиеся буквы как "о1" и "и1", чтобы различать их.

Давайте посмотрим на каждую букву по очереди и определим количество доступных позиций для них.

Буква "к". Остается 11 позиций: \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_

Буква "о1". Остается 10 позиций: \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_

Буква "м". Остается 9 позиций: \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_

Буква "б". Остается 8 позиций: \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_

Буква "и1". Остается 7 позиций: \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_

Буква "н". Остается 6 позиций: \_ \_ \_ \_ \_ \_

Буква "а". Остается 5 позиций: \_ \_ \_ \_ \_

Буква "т". Остается 4 позиции: \_ \_ \_ \_

Буква "о". Остается 3 позиции: \_ \_ \_

Буква "р". Остается 2 позиции: \_ \_

Буква "и". Остается 1 позиция: \_

Буква "к". Остается 1 позиция: \_

Таким образом, у нас есть 11 позиций для первой буквы "к", 10 позиций для первой "о1", 9 позиций для "м" и так далее.

Общее количество перестановок можно найти, перемножив количество доступных позиций для каждой буквы:

\(11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 1 = 11!\)

Таким образом, существует \(11!\) перестановок букв в слове "комбинаторика", которые не изменяют его.

Ответ: \(11!\)