1) Какое ускорение имеет лифт при разгоне и при торможении, если вес человека в лифте в первом и втором случаях

Звонкий_Ниндзя

64

Задача 1:
Для начала рассмотрим ситуацию с разгоном лифта.

Пусть масса человека в лифте равна \(m\), а ускорение разгона лифта равно \(a_{\text{разгон}}\).
В этом случае сумма сил, действующих на человека, равна его весу \(P = m \cdot g\) и массе, умноженной на ускорение разгона лифта \(m \cdot a_{\text{разгон}}\).
По второму закону Ньютона получаем уравнение:
\[P = m \cdot g + m \cdot a_{\text{разгон}}\]
где \(g\) - ускорение свободного падения, принимаем его равным примерно \(9,8\) м/с\(^2\).

Теперь рассмотрим ситуацию с торможением лифта. По аналогии с предыдущим случаем, сумма сил, действующих на человека, равна его весу \(P = m \cdot g\) и массе, умноженной на ускорение торможения лифта \(m \cdot a_{\text{торможение}}\).
Запишем уравнение:
\[P = m \cdot g - m \cdot a_{\text{торможение}}\]

Теперь, согласно условию задачи, вес человека во втором случае отличается от веса в первом случае в три раза. Обозначим вес в первом случае за \(P_1\), а во втором случае за \(P_2\). Тогда:

\[P_2 = 3 \cdot P_1\]

Подставляя выражения для весов в уравнения разгона и торможения, получаем систему уравнений:

\[3 \cdot P_1 = m \cdot g + m \cdot a_{\text{разгон}}\]
\[P_1 = m \cdot g - m \cdot a_{\text{торможение}}\]

Избавимся от неизвестного \(m\) путем деления одного уравнения на другое:

\[\frac{3 \cdot P_1}{P_1} = \frac{m \cdot g + m \cdot a_{\text{разгон}}}{m \cdot g - m \cdot a_{\text{торможение}}}\]

Упрощаем:

\[3 = \frac{g + a_{\text{разгон}}}{g - a_{\text{торможение}}}\]

Переносим дробь влево:

\[3 \cdot (g - a_{\text{торможение}}) = g + a_{\text{разгон}}\]

Раскрываем скобки:

\[3g - 3a_{\text{торможение}} = g + a_{\text{разгон}}\]

Собираем переменные с неизвестными в одну часть, известные в другую:

\[3g - g = a_{\text{разгон}} + 3a_{\text{торможение}}\]

\[2g = a_{\text{разгон}} + 3a_{\text{торможение}}\]

Исходя из описанного выше, мы получили, что удвоенное ускорение свободного падения равно сумме ускорения разгона и утроенного ускорения торможения.

Задача 2:
Для решения этой задачи воспользуемся законом сохранения энергии.
При движении шайбы по поверхности льда сила трения \(F_{\text{трения}}\) между шайбой и льдом делает работу, тормозя шайбу до полной остановки.
Работа силы тяжести \(A\) равна изменению кинетической энергии шайбы:
\[A = \Delta E_{\text{к}}\]

Кинетическая энергия зависит от массы шайбы \(m\), начальной скорости \(v_0\) и конечной скорости \(v\) через следующую формулу:
\[E_{\text{к}} = \frac{1}{2}mv^2\]

Перепишем уравнение в виде:
\[A = \frac{1}{2}mv^2 - \frac{1}{2}mv_0^2\]

В нашем случае работа силы трения \(A\) будет равна изменению энергии вращения шайбы, так как шайба останавливается с постоянной угловой скоростью.
Формула для энергии вращения шайбы выглядит следующим образом:

\[E_{\text{вр}} = \frac{1}{2}I\omega^2\]

Зная, что момент инерции \(I\) шайбы равен \(I = \frac{2}{5}mr^2\) (где \(r\) - радиус шайбы), а угловую скорость \(\omega\) шайбы можно выразить через линейную скорость \(v\) и радиус \(r\) как \(\omega = \frac{v}{r}\), мы можем переписать уравнение:

\[A = \frac{1}{2}\left(\frac{2}{5}mr^2\right)\left(\frac{v^2}{r^2}\right) - \frac{1}{2}mv_0^2\]

Упрощая выражение:

\[A = \frac{1}{5}mv^2 - \frac{1}{2}mv_0^2\]

Таким образом, мы получили выражение для работы силы трения \(A\) через массу шайбы \(m\), конечную скорость шайбы \(v\) и начальную скорость \(v_0\).

Для решения задачи, подставляем известные значения в формулу и решаем уравнение:

\[0.05m \cdot 9.8 \cdot 40 = \frac{1}{5}mv^2 - \frac{1}{2}m \cdot 0^2\]

Упрощая:

\[3.92 \cdot 40 = \frac{1}{5}v^2\]

\[156.8 = \frac{1}{5}v^2\]

\[v^2 = 784\]

\[v = 28\]

Таким образом, начальная скорость шайбы составляла 28 м/с.