1) Какое значение m делает угол между векторами а{4; 1; -2} и b{3; m; 2} а)острым, б)прямым, в)тупым? 2) При каких

Yard_5691

32

1) Чтобы найти значения m, при которых угол между векторами а{4; 1; -2} и b{3; m; 2} будет острым, прямым или тупым, мы можем использовать скалярное произведение векторов. Скалярное произведение двух векторов равно произведению модулей этих векторов на косинус угла между ними.

Для начала найдем модули векторов а и b:
\[
|a| = \sqrt{4^2 + 1^2 + (-2)^2} = \sqrt{21} \approx 4.58
\]
\[
|b| = \sqrt{3^2 + m^2 + 2^2} = \sqrt{m^2 + 17}
\]

Затем вычислим скалярное произведение векторов a и b:
\[
a \cdot b = 4 \cdot 3 + 1 \cdot m + (-2) \cdot 2 = 12 + m - 4 = m + 8
\]

Теперь мы можем использовать скалярное произведение для определения значений m:
а) Для острого угла:
Угол между векторами будет острым, если косинус этого угла больше нуля. То есть:
\[
\frac{{a \cdot b}}{{|a| \cdot |b|}} > 0
\]
\[
\frac{{m + 8}}{{4.58 \cdot \sqrt{m^2 + 17}}} > 0
\]

б) Для прямого угла:
Угол между векторами будет прямым, если косинус этого угла равен нулю. То есть:
\[
\frac{{a \cdot b}}{{|a| \cdot |b|}} = 0
\]
\[
m + 8 = 0
\]

в) Для тупого угла:
Угол между векторами будет тупым, если косинус этого угла меньше нуля. То есть:
\[
\frac{{a \cdot b}}{{|a| \cdot |b|}} < 0
\]
\[
\frac{{m + 8}}{{4.58 \cdot \sqrt{m^2 + 17}}} < 0
\]

2) Чтобы найти значения k, при которых угол между векторами a{k; 3; 1} и b{1; 4; -3} будет острым, прямым или тупым, мы также используем скалярное произведение векторов.

Найдем модули векторов a и b:
\[
|a| = \sqrt{k^2 + 3^2 + 1^2} = \sqrt{k^2 + 10}
\]
\[
|b| = \sqrt{1^2 + 4^2 + (-3)^2} = \sqrt{26}
\]

Вычислим скалярное произведение векторов a и b:
\[
a \cdot b = k \cdot 1 + 3 \cdot 4 + 1 \cdot (-3) = k + 12 - 3 = k + 9
\]

а) Для острого угла:
\[
\frac{{a \cdot b}}{{|a| \cdot |b|}} > 0
\]
\[
\frac{{k + 9}}{{\sqrt{k^2 + 10} \cdot \sqrt{26}}} > 0
\]

б) Для прямого угла:
\[
\frac{{a \cdot b}}{{|a| \cdot |b|}} = 0
\]
\[
k + 9 = 0
\]

в) Для тупого угла:
\[
\frac{{a \cdot b}}{{|a| \cdot |b|}} < 0
\]
\[
\frac{{k + 9}}{{\sqrt{k^2 + 10} \cdot \sqrt{26}}} < 0
\]

3) Чтобы найти значения m, при которых угол c в треугольнике abc с вершинами a(m; -3; 2), b(9; -1; 3) и c(12; -5; -1) является тупым, мы можем использовать скалярное произведение векторов.

Вектор c можно найти, вычтя координаты вершины a из вершины c:
\[
c = (12 - m, -5 - (-3), -1 - 2) = (12 - m, -2, -3)
\]

Вычислим векторные произведения векторов ab и ac:
\[
ab \times ac = \begin{vmatrix}
\textbf{i} & \textbf{j} & \textbf{k} \\
9 - m & -1 + 3 & 3 - (-1) \\
12 - m & -5 - (-1) & -1 - 2
\end{vmatrix} = \begin{vmatrix}
\textbf{i} & \textbf{j} & \textbf{k} \\
9 - m & 2 & 4 \\
12 - m & -4 & -3
\end{vmatrix}
\]
\[
= (2 \cdot (-3) - 4 \cdot (-4), (9 - m) \cdot (-3) - (12 - m) \cdot (-4), (12 - m) \cdot 4 - (9 - m) \cdot (-4))
\]
\[
= (12 + 16, -27 + 48 + 4m, 48 - 27 + 4m) = (28, 4m + 21, 21 + 4m)
\]

Для того чтобы угол c был тупым, векторное произведение ab и ac должно быть отрицательным или нулевым.

Таким образом, условие для тупого угла: \(4m + 21 < 0\) или \(4m + 21 = 0\)

\[
4m + 21 < 0 \Rightarrow 4m < -21 \Rightarrow m < -\frac{21}{4}
\]

Ответ: значения m, которые делают угол c тупым в треугольнике abc, это \(m < -\frac{21}{4}\).