Яку довжину має відрізок, якщо проведено перпендикуляри до його двох взаємно перпендикулярних площин

Марина

2

Давайте решим задачу, чтобы найти длину отрезка. У нас есть два перпендикуляра, один длиной 16 см, а другой - 15 см. Также нам известно расстояние между их основаниями. Воспользуемся теоремой Пифагора для нахождения длины отрезка.

Для начала, обозначим длину отрезка как \(x\) см. Также обозначим расстояние между основаниями перпендикуляров как \(d\) см.

Мы знаем, что длина первого перпендикуляра (16 см) - это гипотенуза прямоугольного треугольника, а длина второго перпендикуляра (15 см) - это один из катетов. Так как оба перпендикуляра перпендикулярны друг другу и лежат на двух взаимно перпендикулярных плоскостях, то эти два треугольника являются прямоугольными.

С помощью теоремы Пифагора мы можем записать следующее уравнение:

\[
16^2 = x^2 + (15-d)^2
\]

В правой части уравнения \(x^2\) представляет квадрат гипотенузы отрезка, а \((15-d)^2\) представляет квадрат второго катета. Расстояние между основаниями перпендикуляров равно расстоянию между концами катетов, то есть \(15 - d\).

Теперь раскроем скобки в этом уравнении и приведем его к более простому виду:

\[
256 = x^2 + 225 - 30d + d^2
\]

Совместим подобные слагаемые, чтобы получить квадратное уравнение:

\[
x^2 + d^2 - 30d = 31
\]

Получившееся уравнение имеет вид \(ax^2 + bx + c = 0\), где \(a = 1\), \(b = -30\) и \(c = 31\).

Теперь мы можем решить это квадратное уравнение с помощью метода дискриминанта, чтобы найти значение \(x\).

Дискриминант можно найти по формуле:

\[
D = b^2 - 4ac
\]

Подставим соответствующие значения:

\[
D = (-30)^2 - 4(1)(31) = 900 - 124 = 776
\]

Так как дискриминант больше нуля, у нас есть два корня:

\[
x_1 = \frac{{-b + \sqrt{D}}}{{2a}} = \frac{{30 + \sqrt{776}}}{{2}} \approx 15.79 \, \text{см}
\]
\[
x_2 = \frac{{-b - \sqrt{D}}}{{2a}} = \frac{{30 - \sqrt{776}}}{{2}} \approx -0.79 \, \text{см}
\]

Ответ: Длина отрезка равна около 15.79 см.

Обратите внимание, что хотя уравнение привело к двум корням, мы отбросим отрицательный корень, так как длина отрезка не может быть отрицательной.