Яку довжину має відрізок, якщо проведено перпендикуляри до його двох взаємно перпендикулярних площин

Марина

2

Давайте решим задачу, чтобы найти длину отрезка. У нас есть два перпендикуляра, один длиной 16 см, а другой - 15 см. Также нам известно расстояние между их основаниями. Воспользуемся теоремой Пифагора для нахождения длины отрезка.

Для начала, обозначим длину отрезка как $x$ см. Также обозначим расстояние между основаниями перпендикуляров как $d$ см.

Мы знаем, что длина первого перпендикуляра (16 см) - это гипотенуза прямоугольного треугольника, а длина второго перпендикуляра (15 см) - это один из катетов. Так как оба перпендикуляра перпендикулярны друг другу и лежат на двух взаимно перпендикулярных плоскостях, то эти два треугольника являются прямоугольными.

С помощью теоремы Пифагора мы можем записать следующее уравнение:

$${16}^2=x^2+(15-d{)}^2$$

В правой части уравнения $x^2$ представляет квадрат гипотенузы отрезка, а $(15-d{)}^2$ представляет квадрат второго катета. Расстояние между основаниями перпендикуляров равно расстоянию между концами катетов, то есть $15-d$.

Теперь раскроем скобки в этом уравнении и приведем его к более простому виду:

$$256=x^2+225-30d+d^2$$

Совместим подобные слагаемые, чтобы получить квадратное уравнение:

$$x^2+d^2-30d=31$$

Получившееся уравнение имеет вид $a{x}^2+bx+c=0$, где $a=1$, $b=-30$ и $c=31$.

Теперь мы можем решить это квадратное уравнение с помощью метода дискриминанта, чтобы найти значение $x$.

Дискриминант можно найти по формуле:

$$D=b^2-4ac$$

Подставим соответствующие значения:

$$D=(-30{)}^2-4(1)(31)=900-124=776$$

Так как дискриминант больше нуля, у нас есть два корня:

$$x_1=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}=\frac{30+\sqrt{776}}{2}\approx 15.79\text{см}$$
$$x_2=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}=\frac{30-\sqrt{776}}{2}\approx -0.79\text{см}$$

Ответ: Длина отрезка равна около 15.79 см.

Обратите внимание, что хотя уравнение привело к двум корням, мы отбросим отрицательный корень, так как длина отрезка не может быть отрицательной.