1) Какое значение угловой скорости диска (ω) в среднем на промежутке времени от t = 0 до остановки, если радиус диска

Ястреб_7727

32

Хорошо, давайте начнем с первой задачи.

1) В этой задаче нам нужно найти значение угловой скорости диска (ω) в среднем на промежутке времени от t = 0 до остановки, если радиус диска равен r = 1 м, и его угловая скорость зависит от времени по закону ω = 4 - 9t².

Для решения этой задачи нам понадобится используем следующую формулу:
\[\omega_{avg} = \frac{\theta}{t}\]
где \(\omega_{avg}\) - средняя угловая скорость, \(\theta\) - угол поворота, \(t\) - время.

Используя данную формулу, мы можем найти среднее значение угловой скорости, делая следующие шаги:

Шаг 1: Найдите значение угла поворота \(\theta\) на промежутке времени от t = 0 до остановки.

Для этого интегрируем угловую скорость по времени на заданном интервале:

\[\theta = \int_0^t \omega dt = \int_0^t (4 - 9t^2) dt\]

Давайте проинтегрируем это выражение с параметрами \(t\):

\[\theta = \left[4t - 3t^3\right]_0^t = (4t - 3t^3) - (4 \cdot 0 - 3 \cdot 0^3) = 4t - 3t^3\]

Шаг 2: Найдем значение \(\omega_{avg}\), используя найденное значение \(\theta\).

\[\omega_{avg} = \frac{\theta}{t} = \frac{4t - 3t^3}{t} = 4 - 3t^2\]

Таким образом, значение угловой скорости диска в среднем на промежутке времени от t = 0 до остановки равно \(4 - 3t^2\), где \(t\) - на промежутке времени от t = 0 до остановки.

Перейдем ко второй задаче.

2) В этой задаче нам нужно найти полное ускорение точки, находящейся на ободе диска, в момент времени t = 0,1 секунды, если радиус диска равен r = 1 м, и его угловая скорость зависит от времени по закону \( \omega = 4 - 9t^2 \).

Для решения этой задачи мы будем использовать следующую формулу:

\[a_{total} = a_{tangential} + a_{centripetal}\]

где \(a_{total}\) - полное ускорение, \(a_{tangential}\) - касательное ускорение, \(a_{centripetal}\) - центростремительное ускорение.

Шаг 1: Найдем значение касательного ускорения \(a_{tangential}\) в момент времени t = 0,1 секунды.

Для этого мы можем использовать следующую формулу:

\[a_{tangential} = r \cdot \alpha\]

где \(r\) - радиус диска, \(\alpha\) - угловое ускорение.

Мы уже знаем значение угловой скорости \(\omega = 4 - 9t^2\). Чтобы найти угловое ускорение, мы можем взять производную угловой скорости по времени:

\[\alpha = \frac{d \omega}{dt} = \frac{d (4 - 9t^2)}{dt} = -18t\]

Подставляя это значение в формулу, получим:

\[a_{tangential} = r \cdot \alpha = 1 \cdot (-18t) = -18t\]

Шаг 2: Найдем значение центростремительного ускорения \(a_{centripetal}\) в момент времени t = 0,1 секунды.

Для этого мы можем использовать следующую формулу:

\[a_{centripetal} = r \cdot \omega^2\]

Подставляя значение угловой скорости \(\omega = 4 - 9t^2\) в формулу, получим:

\[a_{centripetal} = r \cdot \omega^2 = 1 \cdot (4 - 9t^2)^2 = (4 - 9t^2)^2\]

Шаг 3: Найдем значение полного ускорения \(a_{total}\), складывая значения касательного ускорения и центростремительного ускорения.

\[a_{total} = a_{tangential} + a_{centripetal} = -18t + (4 - 9t^2)^2\]

Таким образом, полное ускорение точки на ободе диска в момент времени t = 0,1 секунды равно \(-18t + (4 - 9t^2)^2\), где \(r = 1\) м, и угловая скорость диска зависит от времени по закону \(\omega = 4 - 9t^2\).

Перейдем к третьей задаче.

3) В этой задаче нам нужно найти угловое ускорение диска в момент его остановки, если радиус диска равен r = 1 м, и его угловая скорость зависит от времени по закону \(\omega = 4 - 9t^2\).

Мы знаем, что при остановке угловая скорость \(\omega\) равна нулю. Чтобы найти момент времени, когда это происходит, мы можем решить уравнение:

\(\omega = 4 - 9t^2 = 0\)

Решая это уравнение, мы найдем два значения \(t_1\) и \(t_2\):

\(4 - 9t^2 = 0\)
\(9t^2 = 4\)
\(t^2 = \frac{4}{9}\)
\(t = \pm \frac{2}{3}\)

Таким образом, в моменты времени \(t_1 = -\frac{2}{3}\) секунды и \(t_2 = \frac{2}{3}\) секунды диск останавливается.

Угловое ускорение диска в момент остановки может быть найдено, взяв производную угловой скорости по времени в момент, когда диск остановился.

\(\alpha = \frac{d \omega}{dt} = \frac{d (4 - 9t^2)}{dt} = -18t\)

Подставляя \(t = -\frac{2}{3}\) и \(t = \frac{2}{3}\) в формулу, получаем значение углового ускорения:

\(\alpha_1 = -18 \cdot \left(-\frac{2}{3}\right) = 12\) (в момент \(t_1 = -\frac{2}{3}\) секунды)
\(\alpha_2 = -18 \cdot \left(\frac{2}{3}\right) = -12\) (в момент \(t_2 = \frac{2}{3}\) секунды)

Таким образом, угловое ускорение диска в момент его остановки равно 12 (при \(t_1 = -\frac{2}{3}\) секунды) и -12 (при \(t_2 = \frac{2}{3}\) секунды), где \(r = 1\) м, и угловая скорость диска зависит от времени по закону \(\omega = 4 - 9t^2\).

Дайте мне знать, если вам нужна дополнительная помощь с этими задачами или если у вас есть другие вопросы.