1) Каков максимальный диаметр области, освещенной на столе, когда точечный источник света освещает матовое стекло
1) Каков максимальный диаметр области, освещенной на столе, когда точечный источник света освещает матовое стекло диаметром 10 см, встроенное в подвесную лампу на расстоянии 5 см от ее основания (см. рисунок)? Отверстие в лампе имеет тот же диаметр, что и матовое стекло. Лампа расположена на высоте 35 см над столом. Ответ выразите в сантиметрах, округлив до целого числа.
2) Какой должен быть минимальный диаметр стола, чтобы весь свет от лампы падал на его поверхность? Ответ выразите в сантиметрах, округлив до целого числа.
2) Какой должен быть минимальный диаметр стола, чтобы весь свет от лампы падал на его поверхность? Ответ выразите в сантиметрах, округлив до целого числа.
Vechnyy_Son_3604 27
1) Чтобы найти максимальный диаметр области, освещенной на столе, сначала нужно понять, как свет падает на стекло и освещает стол.Мы можем представить луч света, исходящий от источника, как прямую линию. Поскольку точечный источник света находится на расстоянии 5 см от основания лампы, линия света будет падать на стекло перпендикулярно его поверхности. Давайте обозначим этот угол как \( \theta \).
Теперь рассмотрим треугольник, образованный основанием лампы, линией света и линией, проведенной от вершины лампы до точки контакта луча света с стеклом.
\(
\theta
\) будет являться углом между основанием лампы и нижней стороной треугольника.
Так как стекло имеет диаметр 10 см, радиус будет составлять 5 см. Расстояние от стола до вершины лампы составляет 35 см (высота лампы).
Используя тригонометрию, мы можем определить, что \( \sin{\theta} = \frac{5}{35} \). Решая это уравнение, найдем \( \theta \approx 0.143 \) радиан.
Теперь, чтобы найти максимальный диаметр области на столе, мы должны найти диаметр круга на столе, образуемого под углом \( \theta \). Это будет диаметром круга, проекция которого на стол будет образовывать треугольник с углом \( \theta \).
Мы можем использовать тангенс для вычисления радиуса круга на столе, обозначим его как \( r \). Таким образом, \( \tan{\theta} = \frac{r}{35} \).
Решив это уравнение, найдем \( r \approx 5 \times \tan{0.143} \approx 0.991 \) см.
Теперь, чтобы найти максимальный диаметр области на столе, умножим радиус на 2:
Максимальный диаметр области \( \approx 2 \times 0.991 \approx 1.982 \) см.
Ответ: Максимальный диаметр области, освещенной на столе, составляет примерно 1.982 см.
2) Чтобы найти минимальный диаметр стола, на который падает весь свет от лампы, мы должны учесть максимальный диаметр области, освещенной на столе, и диаметр стекла.
Минимальный диаметр стола будет равен сумме максимального диаметра области и диаметра стекла:
Минимальный диаметр стола \( = 1.982 + 10 = 11.982 \) см.
Ответ: Минимальный диаметр стола должен быть около 11.982 см, что округляется до 12 см.