1. Каков объем детали, полностью погруженной в цилиндрический сосуд, в котором уже налили 5000 см3 воды и уровень

Skvoz_Pesok

12

1. Для решения этой задачи мы можем воспользоваться формулой для объема цилиндра \(V = S \cdot h\), где \(V\) - объем цилиндра, \(S\) - площадь основания цилиндра, \(h\) - высота цилиндра.

В данной задаче площадь основания цилиндра неизвестна, но мы знаем, что уровень жидкости поднялся на 7 см после налива 5000 см3 воды. Значит, объем детали равен разности объемов цилиндра с поднятым уровнем жидкости и цилиндра без жидкости.

Объем цилиндра с уровнем жидкости: \(V_1 = S \cdot h_1\), где \(V_1\) - объем цилиндра с уровнем жидкости, \(h_1\) - высота цилиндра с уровнем жидкости.

Объем цилиндра без жидкости: \(V_2 = S \cdot h_2\), где \(V_2\) - объем цилиндра без жидкости, \(h_2\) - высота цилиндра без жидкости.

Так как уровень жидкости поднялся на 7 см после налива 5000 см3 воды, то \(h_1 = h_2 + 7\) и \(V_1 = V_2 + 5000\).

Подставляем значения в формулу объема цилиндра и получаем уравнение:
\[S \cdot (h_2 + 7) = S \cdot h_2 + 5000\]

Раскрываем скобки и упрощаем уравнение:
\[S \cdot h_2 + 7S = S \cdot h_2 + 5000\]

Теперь выражаем площадь основания цилиндра:
\[7S = 5000\]

Делим обе части уравнения на 7:
\[S = \frac{5000}{7}\]

Таким образом, площадь основания цилиндра составляет \(\frac{5000}{7}\) квадратных см.

Теперь можем найти объем детали, полностью погруженной в цилиндрический сосуд. Обозначим его как \(V_{\text{детали}}\):
\[V_{\text{детали}} = S \cdot h_{\text{детали}}\]

Мы знаем, что уровень жидкости поднялся на 7 см, поэтому \(h_{\text{детали}} = h_2 + 7\).
Подставляем значения и получаем:
\[V_{\text{детали}} = \frac{5000}{7} \cdot (h_2 + 7)\]

Таким образом, объем детали, полностью погруженной в цилиндрический сосуд, составляет \(\frac{5000}{7} \cdot (h_2 + 7)\) кубических см.

2. Для решения этой задачи используем формулу для объема цилиндра \(V = \pi \cdot r^2 \cdot h\), где \(V\) - объем цилиндра, \(r\) - радиус основания цилиндра, \(h\) - высота цилиндра.

Мы знаем, что объем цилиндра составляет 100π, значит, у нас есть уравнение:
\(100\pi = \pi \cdot r^2 \cdot h\)

Делим обе части уравнения на \(\pi\) и получаем:
\(100 = r^2 \cdot h\)

Мы не знаем значения высоты цилиндра и радиуса основания, но мы можем найти их отношение.
Для этого воспользуемся условием задачи: радиус основания в четыре раза меньше высоты.
\(r = \frac{h}{4}\)

Подставляем это выражение для \(r\) в уравнение:
\(100 = \left(\frac{h}{4}\right)^2 \cdot h\)

Раскрываем скобку и упрощаем уравнение:
\(100 = \frac{h^3}{16}\)

Умножаем обе части уравнения на 16 и получаем:
\(1600 = h^3\)

Найдем кубический корень из обеих частей и получаем:
\(h = \sqrt[3]{1600} = 10\)

Таким образом, высота цилиндра равна 10.

Для нахождения радиуса основания цилиндра подставляем найденное значение высоты в выражение для \(r\):
\(r = \frac{h}{4} = \frac{10}{4} = \frac{5}{2}\)

Таким образом, радиус основания цилиндра составляет \(\frac{5}{2}\).

3. Для нахождения площади поверхности сферы воспользуемся формулой \(S = 4\pi r^2\), где \(S\) — площадь поверхности сферы, \(r\) — радиус сферы.

Нам дан объем шара \(V = 36\pi\) и нам нужно найти площадь поверхности сферы \(S\).

Используем формулу для объема шара: \(V = \frac{4}{3}\pi r^3\)

Подставляем данное значение объема и получаем следующее уравнение:
\(\frac{4}{3}\pi r^3 = 36\pi\)

Делим обе части уравнения на \(\pi\) и получаем:
\(\frac{4}{3}r^3 = 36\)

Для решения этого уравнения найдем значение радиуса \(r\).
Возведем обе части уравнения в степень \(\frac{1}{3}\) и получаем:
\(r = \sqrt[3]{\frac{3}{4} \cdot 36} = \sqrt[3]{27}\)

Сокращаем подкоренное выражение до \(3\) и получаем:
\(r = 3\)

Теперь можем найти площадь поверхности сферы, подставив значение радиуса \(r\) в формулу для площади поверхности сферы:
\(S = 4\pi r^2 = 4\pi \cdot 3^2 = 4\pi \cdot 9 = 36\pi\)

Таким образом, площадь поверхности сферы \(S\) равна \(36\pi\) квадратных единиц.

4. Для решения этой задачи мы можем воспользоваться формулой для объема конуса \(V = \frac{1}{3} \pi r^2 h\), где \(V\) - объем конуса, \(r\) - радиус основания конуса, \(h\) - высота конуса.

Нам дано, что изначально конус имеет диаметр 6 см и высоту 5 см.
Для нахождения радиуса основания конуса воспользуемся формулой: \(d = 2r\), где \(d\) - диаметр, \(r\) - радиус.

Подставляем значение диаметра 6 и находим радиус:
\(6 = 2r\)

Решаем уравнение:
\(r = \frac{6}{2} = 3\)

Теперь можем найти объем конуса, используя значения радиуса и высоты:
\(V = \frac{1}{3} \pi \cdot 3^2 \cdot 5\)

Выполняем вычисления:
\(V = \frac{1}{3} \pi \cdot 9 \cdot 5 = 15\pi\)

Теперь увеличим радиус основания конуса в 4 раза. Новый радиус будет \(4 \cdot 3 = 12\).

Найдем новый объем конуса, подставив новые значения радиуса и высоты:
\(V_{\text{новый}} = \frac{1}{3} \pi \cdot 12^2 \cdot 5\)

Выполняем вычисления:
\(V_{\text{новый}} = \frac{1}{3} \pi \cdot 144 \cdot 5 = 240\pi\)

Таким образом, новый объем конуса составляет \(240\pi\).

Чтобы найти, во сколько раз увеличится объем конуса, его новый объем делим на старый объем:
\(\frac{V_{\text{новый}}}{V} = \frac{240\pi}{15\pi} = 16\).

Итак, если мы увеличим радиус основания конуса в 4 раза, то объем конуса увеличится в 16 раз.