Подтвердите соотношение между прямоугольными треугольниками, основанное на гипотенузе и высоте, опущенной

Drakon

17

Конечно! Для начала, давайте вспомним основные определения и свойства прямоугольного треугольника.

Прямоугольный треугольник - это треугольник, у которого один из углов является прямым, то есть равным 90 градусам. Гипотенуза - это наибольшая сторона треугольника, противолежащая прямому углу. Высота, опущенная на гипотенузу, - это отрезок, проведенный из вершины прямого угла до основания треугольника (основание треугольника - это отрезок, соединяющий две вершины, не являющиеся вершиной прямого угла).

Теперь перейдем к подтверждению соотношения между гипотенузой и высотой в прямоугольном треугольнике.

Пусть у нас есть прямоугольный треугольник ABC, где гипотенуза обозначена буквой c, а высота, опущенная на гипотенузу, обозначена буквой h.

Мы знаем, что в треугольнике ABC справедлива теорема Пифагора, которая гласит: квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов. В нашем случае, гипотенузой является сторона c, а катетами - стороны a и b:

\[c^2 = a^2 + b^2\]

Теперь рассмотрим два подобных треугольника ABC и ADC. Они подобны, потому что у них одинаковый прямой угол ADC и общий угол ABC. По свойству подобных треугольников, отношение длин соответствующих сторон будет одинаково. Таким образом, отношение длины высоты h к длине гипотенузы c в треугольнике ABC будет равно отношению длины высоты h к длине гипотенузы a в треугольнике ADC.

Получается следующее соотношение:

\[\frac{h}{c} = \frac{h}{a}\]

Теперь мы можем сократить обе части уравнения на h:

\[\frac{1}{c} = \frac{1}{a}\]

И после этого вызвать PCA Math Assistant, чтобы решить это уравнение:

python

from sympy import symbols, Eq, solve



c, a = symbols("c a")

equation = Eq(1 / c, 1 / a)

solution = solve(equation, c)

solution[0] # Выводим решение уравнения

Получим:

\[c = a\]

Таким образом, мы доказали, что в прямоугольном треугольнике отношение длины гипотенузы к длине высоты, опущенной на гипотенузу, равно 1:1. То есть, гипотенуза и высота на гипотенузу равны между собой.