1. Каков период колебаний тела в системе, изображенной на рисунке, если масса шарика равна 1 кг, а жесткости пружин

Космическая_Следопытка_9542

34

Решение:

1. Для определения периода колебаний тела в данной системе, нужно использовать формулу периода колебания \(T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k_{эфф}}}\), где \(m\) - масса тела, \(k_{эфф}\) - эквивалентная жесткость пружин. Для нахождения эквивалентной жесткости пружин в данной системе, нужно использовать формулу \(\frac{1}{k_{эфф}} = \frac{1}{k_1}+\frac{1}{k_2}\), где \(k_1\) и \(k_2\) - жесткости пружин.

Для данной системы жесткости пружин равны 100 Н/м и 150 Н/м, поэтому вычислим эквивалентную жесткость пружин:

\(\frac{1}{k_{эфф}} = \frac{1}{100}+\frac{1}{150} = \frac{3}{300}+\frac{2}{300} = \frac{5}{300}\)

Теперь найдём эквивалентную жесткость пружин:

\(k_{эфф} = \frac{300}{5} = 60\) Н/м

Подставим значения массы и эквивалентной жесткости пружин в формулу периода колебания:

\(T = 2\pi\sqrt{\frac{1}{60}} = 2\pi\frac{1}{\sqrt{60}} \approx 0,732\) сек.

Ответ: Период колебаний тела в данной системе составляет около 0,732 секунды.

2. Чтобы увеличить частоту колебаний маятника в 2 раза, необходимо уменьшить его период колебаний в 2 раза. Период колебания математического маятника зависит от длины нити и ускорения свободного падения на поверхности Земли. Используем формулу периода колебания математического маятника \(T = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}\), где \(L\) - длина нити, \(g\) - ускорение свободного падения.

Чтобы увеличить частоту колебаний маятника в 2 раза, нужно уменьшить его период колебаний также в 2 раза. То есть, в формуле периода колебания нужно удвоить значение \(T\), а \(\sqrt{\frac{L}{g}}\) должно остаться неизменным. Для этого нужно увеличить квадрат длины нити в 4 раза.

Ответ: Чтобы увеличить частоту колебаний маятника в 2 раза, необходимо увеличить квадрат длины нити в 4 раза.

3. Для определения длины нити математического маятника, при которой его период колебаний составит 2 секунды, используем формулу периода колебания математического маятника \(T = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}\), где \(T\) - период колебания, \(L\) - длина нити, \(g\) - ускорение свободного падения на поверхности Земли.

Для нахождения длины нити, мы должны извлечь переменную \(L\) из формулы, заменив остальные значения.

\[\sqrt{\frac{L}{g}} = \frac{T}{2\pi}\]

Теперь возведём обе части уравнения в квадрат:

\[\frac{L}{g} = \left(\frac{T}{2\pi}\right)^2\]

И изолируем переменную \(L\):

\[L = g\left(\frac{T}{2\pi}\right)^2\]

Подставим значения ускорения свободного падения и периода колебания:

\[L = 9,8\left(\frac{2}{2\pi}\right)^2 = 9,8\frac{2}{4\pi^2} = 0,249\) м

Ответ: Математическому маятнику на поверхности Земли нужно иметь нить длиной около 0,249 метра, чтобы его период колебаний составлял 2 секунды.

4. Для определения периода колебаний нитевого маятника с заданной длиной нити, используем формулу периода колебания \(T = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}\), где \(T\) - период колебания, \(L\) - длина нити, \(g\) - ускорение свободного падения на поверхности Земли.

Подставим значение длины нити в формулу:

\(T = 2\pi\sqrt{\frac{0,75}{9,8}} = 2\pi\sqrt{0,076} \approx 0,874\) сек.

Ответ: Период колебаний нитевого маятника с длиной нити 0,75 м равен примерно 0,874 секунды.