1) Каков шанс того, что первым выстрелил Ваня, если на пятом выстреле произошло попадание в мишень, в то время как Ваня

Raduga

28

Задача 1:
Для решения этой задачи, нам необходимо провести ряд рассуждений и использовать вероятностные концепции.

Пусть событие A обозначает факт того, что первым выстрелил Ваня, а событие B обозначает факт попадания в мишень на пятом выстреле.

Так как Ваня и Петя стреляют поочередно, независимо друг от друга, то исход события B может произойти в двух вариантах:
1) Ваня попал, а Петя промазал.
2) Петя попал, а Ваня промазал.

Обратим внимание, что шансы на попадание у Вани и Пети равны, так как они стреляют независимо друг от друга. Вероятность попадания для обоих равна p.

Теперь давайте рассмотрим каждый из возможных исходов более подробно:

1) Ваня попал, а Петя промазал:
Вероятность этого исхода равна p * (1 - p), так как Ваня попал с вероятностью p, а Петя промазал с вероятностью (1 - p).

2) Петя попал, а Ваня промазал:
Вероятность этого исхода также равна p * (1 - p), так как Петя попал с вероятностью p, а Ваня промазал с вероятностью (1 - p).

Таким образом, общая вероятность события B равна сумме вероятностей двух возможных исходов:
P(B) = p * (1 - p) + p * (1 - p) = 2p(1 - p)

Теперь давайте посмотрим на событие A - то, что первым выстрелил Ваня. Если мы хотим найти вероятность события A при условии, что произошло событие B, мы можем использовать формулу условной вероятности:
P(A|B) = P(A и B) / P(B)

Вероятность события A и B равна вероятности первого выстрела Вани и попадания на пятом выстреле, что равно p * (1 - p).

Теперь мы можем вычислить вероятность события B:
P(B) = 2p(1 - p)

Подставляя значения в формулу условной вероятности, получаем:
P(A|B) = (p * (1 - p)) / (2p(1 - p)) = 1/2

Таким образом, шанс того, что первым выстрелил Ваня, при условии, что на пятом выстреле произошло попадание, равен 1/2.

Задача 2:
Для решения этой задачи, мы также воспользуемся вероятностными концепциями.

Пусть событие A обозначает факт того, что первые два шара, взятые из первой и второй урн, оказались белыми, а событие B обозначает факт того, что следующие два шара из третьей урны также окажутся белыми.

Вероятность события A равна вероятности извлечь два белых шара из первой и второй урн. Для этого нам необходимо рассмотреть три возможных исхода, когда первые два шара берутся из первой и второй урны:
1) Белый шар из первой урны и белый шар из второй урны.
2) Белый шар из первой урны и черный шар из второй урны.
3) Черный шар из первой урны и белый шар из второй урны.

Обратим внимание, что вероятность извлечения белого шара из первой урны равна 2/5 (так как изначально в первой урне было 2 белых шара и 3 черных), а вероятность извлечения белого шара из второй урны равна 2/5 (так как изначально во второй урне было 2 белых шара и 3 черных).

Теперь давайте рассмотрим каждый из возможных исходов более подробно:

1) Белый шар из первой урны и белый шар из второй урны:
Вероятность этого исхода равна (2/5) * (2/5) = 4/25.

2) Белый шар из первой урны и черный шар из второй урны:
Вероятность этого исхода равна (2/5) * (3/5) = 6/25.

3) Черный шар из первой урны и белый шар из второй урны:
Вероятность этого исхода равна (3/5) * (2/5) = 6/25.

Теперь мы можем вычислить вероятность события A:
P(A) = (4/25) + (6/25) + (6/25) = 16/25.

Теперь давайте рассмотрим событие B - то, что следующие два шара из третьей урны окажутся белыми. Если мы хотим найти вероятность события B при условии, что произошло событие A, мы можем использовать формулу условной вероятности:
P(B|A) = P(B и A) / P(A).

Вероятность события B и A равна вероятности извлечь два белых шара из третьей урны, что равно (2/5) * (2/5) = 4/25.

Теперь мы можем вычислить вероятность события A:
P(A) = 16/25.

Подставляя значения в формулу условной вероятности, получаем:
P(B|A) = (4/25) / (16/25) = 4/16 = 1/4.

Таким образом, вероятность того, что два шара, извлеченные из третьей урны после двух произвольных извлечений из первой и второй урны, окажутся белыми, равна 1/4.