1) Каков закон распределения числа задач, которые решены правильно в билете, если вероятность правильного решения

Zayka_5806

16

Хорошо, давайте решим данные задачи по порядку и подробно объясним каждый шаг.

1) Распределение числа задач, которые решены правильно в билете, является биномиальным распределением. Пусть случайная величина \(X\) обозначает количество задач, которые решены правильно. В данном случае у нас три задачи, поэтому диапазон значений для \(X\) будет от 0 до 3.

Формула для расчета вероятности биномиального распределения выглядит следующим образом:

\[P(X = k) = C_n^k \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}\]

Где \(C_n^k\) - количество сочетаний из \(n\) по \(k\) (т.е. количество способов выбрать \(k\) задач из \(n\)), \(p\) - вероятность правильного решения одной задачи.

Для первой задачи вероятность правильного решения составляет 0,9, поэтому \(p = 0,9\).

Для второй задачи вероятность составляет 0,8, поэтому \(p = 0,8\).

Для третьей задачи вероятность составляет 0,7, поэтому \(p = 0,7\).

Теперь мы можем рассчитать вероятности для каждого значения \(X\):

\[P(X = 0) = C_3^0 \cdot 0,9^0 \cdot (1-0,9)^3 = 1 \cdot 1 \cdot 0,1^3 = 0,001\]

\[P(X = 1) = C_3^1 \cdot 0,9^1 \cdot (1-0,9)^2 = 3 \cdot 0,9 \cdot 0,1^2 = 0,027\]

\[P(X = 2) = C_3^2 \cdot 0,8^2 \cdot (1-0,8)^1 = 3 \cdot 0,8^2 \cdot 0,2 = 0,384\]

\[P(X = 3) = C_3^3 \cdot 0,7^3 \cdot (1-0,7)^0 = 1 \cdot 0,7^3 \cdot 1 = 0,343\]

Теперь мы можем ответить на вопрос о законе распределения числа задач, решенных правильно. Итак, закон распределения будет выглядеть следующим образом:

\[P(X = 0) = 0,001\]
\[P(X = 1) = 0,027\]
\[P(X = 2) = 0,384\]
\[P(X = 3) = 0,343\]

Математическое ожидание (среднее значение) для биномиального распределения вычисляется по формуле:

\[E(X) = n \cdot p\]

Где \(n\) - количество задач, \(p\) - вероятность правильного решения одной задачи. В нашем случае:

\[E(X) = 3 \cdot 0,9 + 2 \cdot 0,8 + 1 \cdot 0,7 + 0 \cdot 0,1 = 2,7 + 1,6 + 0,7 + 0 = 5\]

Таким образом, математическое ожидание для данной задачи составляет 5.

Дисперсия для биномиального распределения вычисляется по формуле:

\[Var(X) = n \cdot p \cdot (1-p)\]

\[Var(X) = 3 \cdot 0,9 \cdot 0,1 + 2 \cdot 0,8 \cdot 0,2 + 1 \cdot 0,7 \cdot 0,3 + 0 \cdot 1 \cdot 0,9 = 0,27 + 0,32 + 0,21 + 0 = 0,8\]

Таким образом, дисперсия для данной задачи составляет 0,8.

2) Число кустов земляники, зараженных вирусным заболеванием, также распределено по биномиальному закону. Пусть случайная величина \(Y\) обозначает количество зараженных кустов земляники из четырех. В данном случае у нас четыре куста, поэтому диапазон значений для \(Y\) будет от 0 до 4.

Пусть вероятность заражения вирусом составляет 0,2, поэтому \(p = 0,2\).

Мы можем рассчитать вероятности для каждого значения \(Y\):

\[P(Y = 0) = C_4^0 \cdot 0,2^0 \cdot (1-0,2)^4 = 1 \cdot 1 \cdot 0,8^4 = 0,4096\]

\[P(Y = 1) = C_4^1 \cdot 0,2^1 \cdot (1-0,2)^3 = 4 \cdot 0,2 \cdot 0,8^3 = 0,4096\]

\[P(Y = 2) = C_4^2 \cdot 0,2^2 \cdot (1-0,2)^2 = 6 \cdot 0,2^2 \cdot 0,8^2 = 0,1536\]

\[P(Y = 3) = C_4^3 \cdot 0,2^3 \cdot (1-0,2)^1 = 4 \cdot 0,2^3 \cdot 0,8^1 = 0,0512\]

\[P(Y = 4) = C_4^4 \cdot 0,2^4 \cdot (1-0,2)^0 = 1 \cdot 0,2^4 \cdot 1 = 0,0016\]

Таким образом, закон распределения числа зараженных кустов земляники будет выглядеть следующим образом:

\[P(Y = 0) = 0,4096\]
\[P(Y = 1) = 0,4096\]
\[P(Y = 2) = 0,1536\]
\[P(Y = 3) = 0,0512\]
\[P(Y = 4) = 0,0016\]

Математическое ожидание для данной задачи можно вычислить также, как и в предыдущей задаче:

\[E(Y) = 4 \cdot 0,2 + 3 \cdot 0,8 \cdot 0,2 + 2 \cdot 0,8^2 \cdot 0,2 + 1 \cdot 0,8^3 \cdot 0,2 + 0 \cdot 0,8^4 \cdot 0,2 = 0,8\]

Таким образом, математическое ожидание составляет 0,8.

Дисперсия для данной задачи также вычисляется по формуле для биномиального распределения:

\[Var(Y) = 4 \cdot 0,2 \cdot 0,8 + 3 \cdot 0,2 \cdot 0,8^2 + 2 \cdot 0,2 \cdot 0,8^3 + 1 \cdot 0,2 \cdot 0,8^4 + 0 \cdot 0,2 \cdot 0,8^5 = 0,64\]

Таким образом, дисперсия для данной задачи составляет 0,64.

3) В данной задаче число попыток при открывании замка распределено по геометрическому закону распределения. Вероятность успеха в каждой попытке равна \(p = \frac{1}{6}\), так как из шести ключей только один подходит к замку.

Формула для расчета вероятности геометрического распределения выглядит следующим образом:

\[P(X = k) = p \cdot (1-p)^{k-1}\]

Где \(X\) - число попыток при открывании замка.

Мы можем рассчитать вероятность для каждого значения \(X\):

\[P(X = 1) = \frac{1}{6} \cdot \left(1 - \frac{1}{6}\right)^0 = \frac{1}{6} \cdot 1 = \frac{1}{6}\]

\[P(X = 2) = \frac{1}{6} \cdot \left(1 - \frac{1}{6}\right)^1 = \frac{1}{6} \cdot \frac{5}{6} = \frac{5}{36}\]

\[P(X = 3) = \frac{1}{6} \cdot \left(1 - \frac{1}{6}\right)^2 = \frac{1}{6} \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^2 = \frac{25}{216}\]

\[P(X = 4) = \frac{1}{6} \cdot \left(1 - \frac{1}{6}\right)^3 = \frac{1}{6} \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^3 = \frac{125}{1296}\]

\[P(X = 5) = \frac{1}{6} \cdot \left(1 - \frac{1}{6}\right)^4 = \frac{1}{6} \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^4 = \frac{625}{7776}\]

\[P(X = 6) = \frac{1}{6} \cdot \left(1 - \frac{1}{6}\right)^5 = \frac{1}{6} \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^5 = \frac{3125}{46656}\]

Таким образом, закон распределения числа попыток при открывании замка будет выглядеть следующим образом:

\[P(X = 1) = \frac{1}{6}\]
\[P(X = 2) = \frac{5}{36}\]
\[P(X = 3) = \frac{25}{216}\]
\[P(X = 4) = \frac{125}{1296}\]
\[P(X = 5) = \frac{625}{7776}\]
\[P(X = 6) = \frac{3125}{46656}\]

Математическое ожидание для геометрического распределения равно:

\[E(X) = \frac{1}{p} = \frac{1}{\frac{1}{6}} = 6\]

Дисперсия для геометрического распределения равна:

\[Var(X) = \frac{1-p}{p^2} = \frac{1-\frac{1}{6}}{\left(\frac{1}{6}\right)^2} = \frac{\frac{5}{6}}{\frac{1}{36}} = 30\]

Таким образом, математическое ожидание для данной задачи равно 6, а дисперсия равна 30.

Надеюсь, эти объяснения помогли вам лучше понять эти задачи! Если у вас остались какие-либо вопросы, не стесняйтесь задавать.