1. Какова будет общая полезность при x=3, если функция предельной полезности блага задана как MU(x) = 40 - 8x?

Magicheskiy_Feniks

53

1. Для определения общей полезности находим значение функции предельной полезности блага \(MU(x)\) при \(x=3\) следующим образом:

\[MU(3) = 40 - 8 \cdot 3 = 40 - 24 = 16.\]

Таким образом, общая полезность при \(x=3\) равна 16.

Обоснование: Функция предельной полезности (\(MU(x)\)) показывает, как увеличение потребления блага на единицу изменяет полезность потребителя. В данном случае, когда \(x\) (объем потребления блага) равен 3, функция предельной полезности \(MU(3)\) равна 16. Это означает, что при увеличении потребления блага на единицу от текущего уровня, полезность потребителя будет уменьшаться на 16.

2. Чтобы найти предельную норму замещения и объем потребления блага \(y\), используя данные о доходе, объеме потребления блага \(x\) и бюджетной линии, приведенной точками (6, 0) и (0, 4), выполним следующие шаги:

Шаг 1: Найдем наклон бюджетной линии, используя ее точки (6,0) и (0,4):

\[Наклон = \frac{{Изменение\;y}}{{Изменение\;x}} = \frac{{4-0}}{{0-6}} = \frac{{4}}{{-6}} = -\frac{{2}}{{3}}.\]

Шаг 2: Предельная норма замещения (\(MRT\)) определяется как абсолютное значение отношения предельной полезности блага \(x\) к предельной полезности блага \(y\). В данном случае, при объеме потребления блага \(x = 3\), функция предельной полезности блага \(MU(x)\) равна 16. Также известно, что доход составляет 72 и объем потребления блага \(y\) равен 3. Учитывая это, найдем предельную полезность блага \(y\) при объеме потребления \(y = 3\) следующим образом:

\[MU(3) = 40 - 8 \cdot 3 = 40 - 24 = 16.\]

Теперь найдем предельную норму замещения:

\[MRT = \frac{{MU(x)}}{{MU(y)}} = \frac{{16}}{{16}} = 1.\]

Предельная норма замещения равна 1.

Шаг 3: Определим объем потребления блага \(y\). Найденное уравнение бюджетной линии позволяет найти объем потребления блага \(y\) при данном доходе и объеме потребления блага \(x\). В данном случае, доход равен 72 и объем потребления блага \(x\) равен 3. Подставим эти значения в уравнение бюджетной линии:

\[72 = -\frac{{2}}{{3}} \cdot 3 + b.\]

Решим это уравнение:

\[72 = -2 + b \Rightarrow b = 74.\]

Таким образом, объем потребления блага \(y\) равен 74.

Обоснование: Предельная норма замещения (\(MRT\)) показывает, сколько единиц одного блага (в данном случае, блага \(y\)) потребитель готов отказаться ради получения одной дополнительной единицы другого блага (в данном случае, блага \(x\)). Значение \(MRT\) равное 1 означает, что потребитель готов отказаться от одной единицы блага \(y\) ради получения одной дополнительной единицы блага \(x\).

3. Чтобы определить, насколько должен измениться объем потребления товара \(x\), чтобы расходы на товар \(y\) составили 50% от всего бюджета потребителя, если цена \(Px\) увеличивается, выполним следующие шаги:

Шаг 1: Найдем расходы потребителя на товар \(y\) по формуле:

\[Расходы\;на\;y = Цена\;y \cdot Объем\;потребления\;y.\]

В данном случае цена товара \(y\) неизвестна, но исходя из условия, расходы на товар \(y\) должны составлять 50% от всего бюджета потребителя. Значит, мы можем записать:

\[Расходы\;на\;y = 0.5 \cdot 114 = 57.\]

Шаг 2: Найдем новый объем потребления товара \(x\), зная изменение цены \(Px\) и изменение бюджета потребителя.

Пусть изменение цены \(Px\) равно \(\Delta Px\), а новый объем потребления товара \(x\) равен \(x + \Delta x\).

Используя формулу расходов:

\[Бюджет\;потребителя = Цена\;x \cdot Объем\;потребления\;x + Цена\;y \cdot Объем\;потребления\;y,\]

подставим известные значения:

\[114 = 2 \cdot (x + \Delta x) + Цена\;y \cdot 26.\]

Также учитывая, что расходы на товар \(y\) должны составлять 50% от всего бюджета потребителя, получим:

\[57 = Цена\;y \cdot 26.\]

Шаг 3: Решим систему уравнений для определения значений \(\Delta x\) и \(Цена\;y\). Используя уравнения из шага 2:

\[\begin{cases} 114 = 2(x + \Delta x) + Цена\;y \cdot 26, \\ 57 = Цена\;y \cdot 26. \end{cases}\]

Найдем значение \(Цена\;y\):

\[57 = Цена\;y \cdot 26 \Rightarrow Цена\;y = \frac{{57}}{{26}}.\]

Теперь подставим найденное значение \(Цена\;y\) в первое уравнение системы:

\[114 = 2(x + \Delta x) + \frac{{57}}{{26}} \cdot 26 \Rightarrow 114 = 2(x + \Delta x) + 57.\]

Выразим \(\Delta x\):

\[2(x + \Delta x) = 114 - 57 \Rightarrow 2(x + \Delta x) = 57 \Rightarrow x + \Delta x = \frac{{57}}{{2}}.\]

Таким образом, \(\Delta x = \frac{{57}}{{2}} - x\).

Обоснование: Расходы на товар \(y\) определяются как произведение его цены и объема потребления. По заданию, расходы на товар \(y\) должны составлять 50% от всего бюджета потребителя, который равен 114. Подставляя известные значения в уравнение бюджета потребителя, мы находим значение нового объема потребления товара \(x\) (\(x + \Delta x\)), учитывая изменение цены \(Px\) и значение расходов на товар \(y\). Полученное значение \(\Delta x\) представляет собой изменение объема потребления товара \(x\), необходимое для достижения требуемых расходов на товар \(y\).