1. Какова длина линии пересечения сферы и плоскости, если плоскость пересекает сферу радиусом 10 см на расстоянии

Blestyaschaya_Koroleva

37

Задача 1:
Найдем расстояние между центром сферы и плоскостью. Так как плоскость пересекает сферу на расстоянии 6 см от ее центра, то расстояние между центром и плоскостью будет равно 6 см.
Теперь найдем длину пересечения сферы и плоскости. Мы знаем, что плоскость пересекает сферу радиусом 10 см. Рассмотрим треугольник, образованный радиусом сферы, линией пересечения и расстоянием между центром и плоскостью. Этот треугольник является прямоугольным, так как радиус сферы, линия пересечения и расстояние от центра до плоскости образуют прямой угол.
Используя теорему Пифагора для этого треугольника, получим длину линии пересечения:
\[
\text{длина пересечения} = \sqrt{\text{радиус}^2 - \text{расстояние между центром и плоскостью}^2}
\]
Подставим известные значения:
\[
\text{длина пересечения} = \sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8 \text{ см}
\]

Ответ: Длина линии пересечения сферы и плоскости равна 8 см.

Задача 2:
Для нахождения площади поверхности шара, если плоскость, касающаяся его, проходит на расстоянии 5 см от центра шара, нам понадобятся радиус шара и расстояние от центра шара до плоскости.

Из условия задачи, расстояние от центра шара до плоскости составляет 5 см. Также нам известен радиус шара, которым обозначим \(R\).

Так как плоскость касается шара, то в точке касания проведем радиус, который будет перпендикулярен касательной плоскости. Такой радиус будет равен расстоянию от центра шара до плоскости. В данном случае это 5 см.

Изобразим получившийся треугольник, в котором одна сторона равна радиусу \(R\), а другая - расстоянию от центра шара до плоскости (5 см).

Так как треугольник прямоугольный, можно воспользоваться теоремой Пифагора для нахождения третьей стороны:

\[ R = \sqrt{h^2 + 5^2} \]

где \( h \) - высота треугольника, а \( 5 \) - расстояние от центра шара до плоскости.

Теперь, чтобы найти площадь поверхности шара, воспользуемся формулой: \( S = 4\pi R^2 \)

Подставим значение \( R \) и вычислим площадь:

\[ S = 4\pi \cdot (\sqrt{h^2 + 5^2})^2 = 4\pi \cdot (h^2 + 5^2) \]

Ответ: Площадь поверхности шара равна \( 4\pi \cdot (h^2 + 5^2) \).

Задача 3:
Для нахождения площади сечения шара, если диаметр шара равен 8 и плоскость проходит через конец этого диаметра, образуя угол 45 градусов с ним, мы должны рассчитать длину линии пересечения плоскости со шаром.

Для начала найдем радиус шара. Радиус - это половина диаметра, поэтому радиус \( r = \frac{d}{2} = \frac{8}{2} = 4 \) см.

Построим плоскость, проходящую через конец диаметра под углом 45 градусов. Мы знаем, что диаметр делит плоскость пополам. Поэтому получим два треугольника, каждый из которых имеет угол 45 градусов.

В этом случае мы можем рассмотреть только один из этих треугольников и вычислить длину линии пересечения плоскости и шара. Эта длина будет равна длине хорды, так как плоскость пересекает шар.

Вычислим длину хорды, зная радиус и угол между ним и хордой. Для этого воспользуемся формулой \(l = 2r\sin(\frac{\theta}{2})\), где \(r\) - радиус шара, \(\theta\) - угол в радианах.

В данном случае угол \(45^\circ\) равен \(\frac{\pi}{4}\) радиан. Подставим значения и вычислим длину хорды:

\[l = 2 \cdot 4 \cdot \sin(\frac{\frac{\pi}{4}}{2}) = 8 \cdot \sin(\frac{\pi}{8})\]

Теперь мы можем рассчитать площадь сечения шара, используя формулу: \(S = \frac{l^2 \cdot \pi}{4}\).

Подставим значение \(l\) и вычислим площадь сечения шара:

\[S = \frac{(8 \cdot \sin(\frac{\pi}{8}))^2 \cdot \pi}{4}\]

Ответ: Площадь сечения шара равна \(\frac{(8 \cdot \sin(\frac{\pi}{8}))^2 \cdot \pi}{4}\).

Задача 4:
Для нахождения радиуса сферы, описанной около куба, если площадь сферы, вписанной в куб, составляет \(16\pi\), мы должны использовать соотношение между площадью сферы и радиусом.

Известно, что площадь сферы равна \(4\pi R^2\), где \(R\) - радиус сферы.

Также мы знаем, что площадь сферы, вписанной в куб, составляет \(16\pi\). Это означает, что площадь каждой грани куба равна \(4\pi\), так как куб имеет 6 одинаковых граней.

Используя данную информацию, соотнесем площадь грани куба с площадью сферы:

\[4\pi = 4\pi R^2\]

Отсюда мы можем найти радиус \(R\):

\[R^2 = 1\]

\[R = 1 \text{ см}\]

Ответ: Радиус сферы, описанной около куба, равен 1 см.