1. Какова длина меньшего катета прямоугольного треугольника, если известно, что его площадь равна 90 и один из катетов
1. Какова длина меньшего катета прямоугольного треугольника, если известно, что его площадь равна 90 и один из катетов на 3 больше другого?
2. Каков острый угол между биссектрисами острых углов прямоугольного треугольника, если ответ нужно указать в градусах?
2. Каков острый угол между биссектрисами острых углов прямоугольного треугольника, если ответ нужно указать в градусах?
Paporotnik 33
Конечно! Давайте решим задачу пошагово.1. Пусть x - длина меньшего катета прямоугольного треугольника.
2. Тогда, длина другого катета будет равна x+3 (так как один катет на 3 больше другого).
3. Формула для площади прямоугольного треугольника: Площадь = (основание * высота) / 2.
4. В нашем случае, площадь равна 90, поэтому можем записать уравнение: 90 = (x * (x+3)) / 2.
5. Решим уравнение: 180 = x^2 + 3x.
6. Перенесем все в левую часть уравнения: x^2 + 3x - 180 = 0.
7. Раскроем скобки: x^2 + 15x - 12x - 180 = 0.
8. Сгруппируем слагаемые: x(x + 15) - 12(x + 15) = 0.
9. Факторизуем полученное выражение: (x - 12)(x + 15) = 0.
10. Приравняем каждый множитель к нулю: x - 12 = 0 или x + 15 = 0.
11. Получаем два возможных значения для x: x = 12 или x = -15.
12. Так как мы говорим о длине катета, которая не может быть отрицательной, то отбрасываем решение x = -15.
13. Ответ: Длина меньшего катета прямоугольного треугольника равна 12.
Теперь перейдем ко второй задаче.
1. Пусть ABC - прямоугольный треугольник, где AB - гипотенуза, а AC и BC - катеты.
2. Пусть AD и BE - биссектрисы острых углов A и B соответственно. Точка D - точка пересечения биссектрисы AD с гипотенузой AB, а точка E - точка пересечения биссектрисы BE с гипотенузой AB.
3. Известно, что биссектрисы острых углов делят противолежащие им стороны треугольника на отрезки, пропорциональные ближайшим сторонам.
4. Это означает, что отношение длины BD к длине DC равно отношению длины AB к длине AC, и отношение длины AE к длине EC равно отношению длины AB к длине BC.
5. Обозначим острый угол при вершине A через α и угол при вершине B через β.
6. По определению биссектрисы, угол DAB = α/2 и угол EBA = β/2.
7. Тогда угол BDC = 180° - α/2 - β/2 = (360° - α - β)/2.
8. Заметим, что угол BDC - это острый угол между биссектрисами острых углов прямоугольного треугольника.
9. Ответ: Острый угол между биссектрисами острых углов прямоугольного треугольника равен \((360° - α - β)/2\) градусов.
Надеюсь, эти пошаговые решения помогут вам понять задачи лучше! Если у вас возникнут еще вопросы или что-то будет непонятно, не стесняйтесь задавать!