1. Какова длина меньшей диагонали призмы с высотой 2 и площадью основания 6 корней из 3? Какова площадь полной

Ветка

61

1. Для решения первой задачи нам понадобятся формулы для длины меньшей диагонали и площади полной поверхности призмы.

Формула для длины меньшей диагонали призмы:

\[d = \sqrt{a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(\alpha)}\]

где \(d\) - длина меньшей диагонали, \(a\) и \(b\) - длины призмы, \(\alpha\) - угол между основаниями (для призмы прямоугольной формы угол между основаниями равен 90 градусам).

Формула для площади полной поверхности призмы:

\[S_{\text{полн}} = 2(ab + ac + bc)\]

где \(S_{\text{полн}}\) - площадь полной поверхности призмы, \(a\), \(b\) и \(c\) - длины сторон призмы.

Дано, что высота призмы равна 2, а площадь основания равна 6 корней из 3. Пусть \(a\) и \(b\) - длины сторон основания призмы. Тогда:

\[ab = 6 \sqrt{3}\]

У нас нет информации о длине третьей стороны основания, поэтому обозначим ее как \(c\). Для удобства воспользуемся свойствами прямоугольной призмы, в которой длины всех трех сторон основания различны. Тогда \(c = \sqrt{a^2 + b^2}\).

Подставим текущие данные в формулу для площади полной поверхности:

\[S_{\text{полн}} = 2(ab + ac + bc) = 2(6\sqrt{3} + 2\sqrt{3}c + 2ac) = 2(6\sqrt{3} + 2\sqrt{3}\sqrt{a^2 + b^2} + 2a\sqrt{a^2 + b^2})\]

Теперь у нас есть формула для площади полной поверхности призмы, зависящая от \(a\) и \(b\). Чтобы определить их значения, воспользуемся условиями задачи.

Так как площадь основания равна \(ab = 6\sqrt{3}\), мы можем найти величину \(ab\), а затем найти \(c\):

\[ab = 6\sqrt{3} \Rightarrow a^2 + b^2 = c^2 = \left(\sqrt{6\sqrt{3}}\right)^2 = 6 \cdot 3 = 18\]

Теперь у нас есть значения \(a\), \(b\) и \(c\), и мы можем продолжить с подстановкой их в формулу для площади полной поверхности:

\[S_{\text{полн}} = 2(6\sqrt{3} + 2\sqrt{3}\sqrt{18} + 2a\sqrt{18})\]

2. Для решения второй задачи нам понадобятся формулы для радиуса вписанной окружности и площади полной поверхности пирамиды.

Формула для радиуса вписанной окружности в пирамиду:

\[r = \frac{V}{S_{\text{осн}}}\]

где \(r\) - радиус вписанной окружности, \(V\) - объем пирамиды, \(S_{\text{осн}}\) - площадь основания пирамиды.

Формула для площади полной поверхности пирамиды:

\[S_{\text{полн}} = S_{\text{осн}} + \frac{Pl}{2}\]

где \(S_{\text{полн}}\) - площадь полной поверхности пирамиды, \(Pl\) - периметр основания пирамиды, равный \(\sqrt{2}a + 2b\), где \(a\) - длина бокового ребра пирамиды, \(b\) - сторона основания пирамиды.

Дано, что высота пирамиды равна \(2\sqrt{3}\) и угол между боковым ребром и плоскостью основания равен 45 градусам.

Перейдем к решению:

Чтобы найти радиус вписанной окружности, нам понадобятся площадь основания и объем пирамиды.

Площадь основания пирамиды можно найти, зная длину стороны основания \(b\):

\[S_{\text{осн}} = b^2\]

Объем пирамиды можно найти, зная площадь основания и высоту пирамиды:

\[V = \frac{1}{3}S_{\text{осн}}h = \frac{1}{3}b^2 \cdot 2\sqrt{3} = \frac{2\sqrt{3}}{3}b^2\]

Теперь мы можем найти радиус вписанной окружности:

\[r = \frac{V}{S_{\text{осн}}} = \frac{\frac{2\sqrt{3}}{3}b^2}{b^2} = \frac{2\sqrt{3}}{3}\]

Формула для площади полной поверхности пирамиды:

\[S_{\text{полн}} = S_{\text{осн}} + \frac{Pl}{2}\]

Подставим значения и решим задачу:

\[S_{\text{полн}} = b^2 + \frac{\sqrt{2}a + 2b}{2} \cdot l = b^2 + \frac{\sqrt{2}alt}{2} = b^2 + \frac{(\sqrt{2}a + 2b)lt}{2}\]

Важно отметить, что в задаче не указаны дополнительные параметры, такие как длина бокового ребра \(a\) или толщина \(l\) - поэтому, для получения конкретного числового ответа, требуется более точная информация.