Какова длина диагонали квадрата, в который вписана окружность с радиусом 14√2? Назовите значение диагонали

Шустрик

47

Хорошо, чтобы найти длину диагонали \(d\) квадрата, в который вписана окружность с радиусом 14√2, нам понадобится использовать некоторые свойства геометрических фигур.

Сначала давайте рассмотрим окружность, вписанную в квадрат. Когда окружность вписана в квадрат, диаметр окружности будет равен длине стороны квадрата. Давайте обозначим сторону квадрата через \(a\).

Так как радиус окружности равен 14√2, а радиус равен половине диаметра, у нас есть:

\[14\sqrt{2} = \frac{a}{2}\]

Далее нам нужно найти длину диагонали \(d\) квадрата. Мы можем использовать теорему Пифагора для решения этой задачи. Теорема Пифагора утверждает, что для прямоугольного треугольника с катетами \(a\) и \(b\) и гипотенузой \(c\) выполняется:

\[c^2 = a^2 + b^2\]

В нашем случае квадрат с диагональю \(d\) является прямоугольным треугольником с катетами \(a\) и \(a\). Таким образом, применяя теорему Пифагора, мы получаем:

\[d^2 = a^2 + a^2 = 2a^2\]

Теперь мы можем найти значение диагонали, найдя квадратный корень из \(d^2\):

\[d = \sqrt{2a^2}\]

Так как нам уже известно, что \(a = 28\sqrt{2}\) (по условию), мы можем подставить это значение:

\[d = \sqrt{2 \cdot (28\sqrt{2})^2}\]

Выполним вычисления:

\[d = \sqrt{2 \cdot 28^2 \cdot 2}\]

\[d = \sqrt{2 \cdot 784 \cdot 2}\]

\[d = \sqrt{3136}\]

\[d = 56\]

Таким образом, длина диагонали квадрата, в который вписана окружность с радиусом 14√2, равна 56.