1) Какова длина отрезка AK в треугольнике PNA, где хорды NK и PC пересекаются в точке А, PA равно 14 см, AC равно

Skolzyaschiy_Tigr

52

Для решения данной задачи, нам понадобятся геометрические свойства треугольников и трапеций.

1) В треугольнике PNA у нас есть хорда NK и отрезок PC, которые пересекаются в точке А. Для нахождения длины отрезка AK, воспользуемся теоремой Менелая, которая гласит: если в треугольнике провести прямую, пересекающую две стороны, то отношение произведений отрезков, на которые эта прямая делит каждую из сторон, равно отношению произведений длин соответствующих отрезков сторон. Применим эту теорему к треугольнику PNA и отрезку KC:

$$\frac{PA}{AN}\cdot \frac{NK}{KP}\cdot \frac{PC}{CA}=1$$

Подставим известные значения в данное соотношение:

$$\frac{14}{10}\cdot \frac{NK}{KP}\cdot \frac{PC}{5}=1$$

Упростим выражение:

$$\frac{7}{5}\cdot \frac{NK}{KP}\cdot \frac{PC}{5}=1$$

Перемножим числители и знаменатели:

$$\frac{7\cdot PC\cdot NK}{5\cdot KP\cdot 5}=1$$

Выразим отношение NK/KP через одно неизвестное значение, длину отрезка AK:

$$\frac{7\cdot PC\cdot NK}{5\cdot AK}=1$$

Теперь найдем отношение NK/KP. Для этого воспользуемся свойством, что отрезки, проведенные из вершин треугольника к серединам противоположных сторон, делятся пополам:

$$\frac{NK}{KP}=\frac{AN}{PA}=\frac{10}{14}=\frac{5}{7}$$

Подставим это значение в предыдущее уравнение:

$$\frac{7\cdot PC\cdot \frac{5}{7}}{5\cdot AK}=1$$

Упростим выражение:

$$\frac{5\cdot PC}{AK}=1$$

Теперь выразим AK:

$$AK=5\cdot PC$$

Подставим известное значение PC:

$$AK=5\cdot 5=25$$

Таким образом, длина отрезка AK в треугольнике PNA равна 25 см.

2) В трапеции ABCD у нас есть отрезок BK, диагонали AC и BD, и нам нужно найти длину отрезка BK. Для решения этой задачи воспользуемся свойством пропорциональности диагоналей трапеции:

$$\frac{BK}{KC}=\frac{AB}{AC}=\frac{AD}{BD}$$

Подставим известные значения в данное соотношение:

$$\frac{BK}{7}=\frac{12}{AC}$$

Известно также, что BC равно 4 см. Зная, что сумма длин оснований трапеции равна сумме длин диагоналей, можно написать следующее уравнение:

$$BC=AB+CD$$

Подставим известные значения в данное соотношение:

$$4=AB+CD$$

Но известно также, что AB = CD, так как это параллельные стороны трапеции. Поэтому:

$$2AB=4$$

$$AB=2$$

Вернемся к первому уравнению:

$$\frac{BK}{7}=\frac{12}{AC}$$

Подставим известные значения:

$$\frac{BK}{7}=\frac{12}{5}$$

Упростим выражение:

$$5BK=7\cdot 12$$

$$BK=\frac{7\cdot 12}{5}$$

Выполним вычисления:

$$BK=\frac{84}{5}$$

Таким образом, длина отрезка BK в трапеции ABCD равна $\frac{84}{5}$ см.