1) Какова длина отрезка AK в треугольнике PNA, где хорды NK и PC пересекаются в точке А, PA равно 14 см, AC равно

Skolzyaschiy_Tigr

52

Для решения данной задачи, нам понадобятся геометрические свойства треугольников и трапеций.

1) В треугольнике PNA у нас есть хорда NK и отрезок PC, которые пересекаются в точке А. Для нахождения длины отрезка AK, воспользуемся теоремой Менелая, которая гласит: если в треугольнике провести прямую, пересекающую две стороны, то отношение произведений отрезков, на которые эта прямая делит каждую из сторон, равно отношению произведений длин соответствующих отрезков сторон. Применим эту теорему к треугольнику PNA и отрезку KC:

\[\frac{PA}{AN} \cdot \frac{NK}{KP} \cdot \frac{PC}{CA} = 1\]

Подставим известные значения в данное соотношение:

\[\frac{14}{10} \cdot \frac{NK}{KP} \cdot \frac{PC}{5} = 1\]

Упростим выражение:

\[\frac{7}{5} \cdot \frac{NK}{KP} \cdot \frac{PC}{5} = 1\]

Перемножим числители и знаменатели:

\[\frac{7 \cdot PC \cdot NK}{5 \cdot KP \cdot 5} = 1\]

Выразим отношение NK/KP через одно неизвестное значение, длину отрезка AK:

\[\frac{7 \cdot PC \cdot NK}{5 \cdot AK} = 1\]

Теперь найдем отношение NK/KP. Для этого воспользуемся свойством, что отрезки, проведенные из вершин треугольника к серединам противоположных сторон, делятся пополам:

\[\frac{NK}{KP} = \frac{AN}{PA} = \frac{10}{14} = \frac{5}{7}\]

Подставим это значение в предыдущее уравнение:

\[\frac{7 \cdot PC \cdot \frac{5}{7}}{5 \cdot AK} = 1\]

Упростим выражение:

\[\frac{5 \cdot PC}{AK} = 1\]

Теперь выразим AK:

\[AK = 5 \cdot PC\]

Подставим известное значение PC:

\[AK = 5 \cdot 5 = 25\]

Таким образом, длина отрезка AK в треугольнике PNA равна 25 см.

2) В трапеции ABCD у нас есть отрезок BK, диагонали AC и BD, и нам нужно найти длину отрезка BK. Для решения этой задачи воспользуемся свойством пропорциональности диагоналей трапеции:

\[\frac{BK}{KC} = \frac{AB}{AC} = \frac{AD}{BD}\]

Подставим известные значения в данное соотношение:

\[\frac{BK}{7} = \frac{12}{AC}\]

Известно также, что BC равно 4 см. Зная, что сумма длин оснований трапеции равна сумме длин диагоналей, можно написать следующее уравнение:

\[BC = AB + CD\]

Подставим известные значения в данное соотношение:

\[4 = AB + CD\]

Но известно также, что AB = CD, так как это параллельные стороны трапеции. Поэтому:

\[2AB = 4\]

\[AB = 2\]

Вернемся к первому уравнению:

\[\frac{BK}{7} = \frac{12}{AC}\]

Подставим известные значения:

\[\frac{BK}{7} = \frac{12}{5}\]

Упростим выражение:

\[5BK = 7 \cdot 12\]

\[BK = \frac{7 \cdot 12}{5}\]

Выполним вычисления:

\[BK = \frac{84}{5}\]

Таким образом, длина отрезка BK в трапеции ABCD равна \(\frac{84}{5}\) см.