1. Какова максимальная скорость груза, совершающего гармонические колебания с амплитудой 5 см и периодом 1

Донна

66

1. Чтобы найти максимальную скорость груза, совершающего гармонические колебания, мы можем воспользоваться следующей формулой:

\[v_{\text{max}} = A \cdot \omega\]

где \(A\) - амплитуда колебаний, а \(\omega\) - циклическая частота колебаний.

Для данной задачи, амплитуда колебаний \(A\) равна 5 см, а период колебаний \(T\) равен 1 секунде. Мы знаем, что период колебаний связан с циклической частотой следующим образом: \(T = \frac{2\pi}{\omega}\).

Теперь, чтобы найти циклическую частоту, мы можем переписать формулу для скорости в следующем виде:

\[v_{\text{max}} = A \cdot \frac{2\pi}{T}\]

Подставим известные значения:

\[v_{\text{max}} = 5 \, \text{см} \cdot \frac{2\pi}{1 \, \text{с}}\]

Вычислим:

\[v_{\text{max}} \approx 31.42 \, \text{см/с}\]

Таким образом, максимальная скорость груза, совершающего гармонические колебания, составляет около 31.42 см/с.

2. Для нахождения циклической частоты \(\omega\), частоты \(f\) и периода \(T\) колебаний математического маятника по данному уравнению \(x = 4 \cos(20t + \frac{\pi}{2})\), мы должны сравнить это уравнение с общим уравнением гармонического колебания:

\[x(t) = A \cos(\omega t + \phi)\]

Сравнивая коэффициенты, мы можем сделать следующие выводы:
- Амплитуда \(A\) равна 4 м.
- Циклическая частота \(\omega\) равна 20 рад/сек. (по сравнению с коэффициентом перед переменной \(t\)).
- Фазовый сдвиг \(\phi\) равен \(\frac{\pi}{2}\) радиан (по сравнению с константой внутри функции \(\cos\)).

Циклическая частота \(\omega\) связана с частотой \(f\) и периодом \(T\) следующим образом: \(\omega = 2\pi f\) и \(T = \frac{1}{f}\).

Для нахождения длины нити \(L\) математического маятника, мы можем использовать формулу, связывающую циклическую частоту \(\omega\) с длиной нити \(L\):

\(\omega = \sqrt{\frac{g}{L}}\),

где \(g\) - ускорение свободного падения (приблизительное значение: \(9.8 \, \text{м/с}^2\)).

Теперь мы можем найти длину нити \(L\), зная циклическую частоту \(\omega\):

\(L = \frac{g}{\omega^2}\).

Подставим известные значения:

\(L = \frac{9.8 \, \text{м/с}^2}{(20 \, \text{рад/с})^2}\).

Вычислим:

\(L = \frac{9.8 \, \text{м/с}^2}{400 \, \text{рад}^2/\text{с}^2}\).

\(L \approx 0.0245 \, \text{м}\).

Таким образом, длина нити этого математического маятника составляет примерно 0.0245 метра.