1. Какова площадь проекции прямоугольного треугольника с катетами 6 и 9 см на плоскость, образующую с плоскостью

Tigrenok

35

1. Для нахождения проекции прямоугольного треугольника на плоскость, образующую с плоскостью треугольника угол, нужно использовать формулу:
\[S_{\text{пр}} = S \cdot \cos{\alpha},\]
где \(S\) - площадь треугольника, \(\alpha\) - угол между плоскостью и плоскостью треугольника.

Для данной задачи, катеты прямоугольного треугольника равны 6 и 9 см, а угол между плоскостью и плоскостью треугольника равен 60°.

Сначала найдем площадь треугольника по формуле:
\[S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b,\]
где \(a\) и \(b\) - длины катетов треугольника.

Подставляя значения, получаем:
\[S = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 9 = 27 \, \text{см}^2.\]

Теперь найдем площадь проекции:
\[S_{\text{пр}} = 27 \cdot \cos{60^\circ} = 27 \cdot \frac{1}{2} = \boxed{13.5} \, \text{см}^2.\]

2. Для определения лежит ли точка на плоскости или оси, необходимо обратить внимание на координаты точки.

2.1) Чтобы точка лежала на плоскости \(xOz\), значение координаты \(y\) должно быть равно 0. Исходя из этого:

- Точка А(0;6;0) и точка В(0;3;3) лежат на плоскости \(xOz\), так как их координаты \(y\) равны 0.
- Точка С(3;4;8) и точка D(1;0;9) не лежат на плоскости \(xOz\), так как их координаты \(y\) не равны 0.

2.2) Чтобы точка лежала на оси \(у\), значение координаты \(x\) и \(z\) должно быть равно 0. Исходя из этого:

- Точка А(0;6;0) не лежит на оси \(у\), так как ее координата \(x\) и \(z\) не равны 0.
- Точка В(0;3;3) и точка D(1;0;9) лежат на оси \(у\), так как их координаты \(x\) и \(z\) равны 0.
- Точка С(3;4;8) не лежит на оси \(у\), так как ее координата \(x\) и \(z\) не равны 0.

2.3) Чтобы точка лежала на плоскости \(уz\), значение координаты \(x\) должно быть равно 0. Исходя из этого:

- Точка А(0;6;0) и точка В(0;3;3) не лежат на плоскости \(уz\), так как их координаты \(x\) не равны 0.
- Точка С(3;4;8) и точка D(1;0;9) лежат на плоскости \(уz\), так как их координаты \(x\) равны 0.

3. Чтобы доказать, что четырёхугольник АВСD с указанными вершинами является прямоугольником, нужно проверить, что все его стороны перпендикулярны друг другу.

Для этого можно воспользоваться свойством перпендикулярности векторов. Если произведение скалярных произведений любых двух векторов, образующих смежные стороны четырёхугольника, равно 0, то это говорит о том, что стороны перпендикулярны.

Возьмем векторы:
\(\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} 1-2 \\ 0-1 \\ 7-3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix},\)
\(\overrightarrow{BC} = \begin{pmatrix} -2-1 \\ 1-0 \\ 5-7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix},\)
\(\overrightarrow{CD} = \begin{pmatrix} 1+2 \\ 2-1 \\ 1-5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ -4 \end{pmatrix},\)
\(\overrightarrow{DA} = \begin{pmatrix} 3-1 \\ -1-2 \\ 2-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ -3 \\ 1 \end{pmatrix}.\)

Теперь посчитаем скалярные произведения:
\(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC} = (-1) \cdot (-3) + (-1) \cdot 1 + 4 \cdot (-2) = 3 - 1 - 8 = -6,\)
\(\overrightarrow{BC} \cdot \overrightarrow{CD} = (-3) \cdot 3 + 1 \cdot 1 + (-2) \cdot (-4) = -9 + 1 + 8 = 0,\)
\(\overrightarrow{CD} \cdot \overrightarrow{DA} = 3 \cdot 2 + 1 \cdot (-3) + (-4) \cdot 1 = 6 - 3 - 4 = -1,\)
\(\overrightarrow{DA} \cdot \overrightarrow{AB} = 2 \cdot (-1) + (-3) \cdot (-1) + 1 \cdot 4 = -2 + 3 + 4 = 5.\)

Так как произведение скалярных произведений не равно 0, четырёхугольник АВСD не является прямоугольником.

4. Чтобы найти координаты и модуль вектора ВА, нужно вычислить разность координат соответствующих точек. Координаты точки В(5;1;1), точки A(3;−1;2).

Разности координат будут равны:
\(\overrightarrow{BA} = \begin{pmatrix} 5-3 \\ 1-(-1) \\ 1-2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}.\)

Теперь найдем модуль вектора ВА по формуле:
\(|\overrightarrow{BA}| = \sqrt{(2)^2 + (2)^2 + (-1)^2} = \sqrt{4 + 4 + 1} = \sqrt{9} = \boxed{3}.\)

5. Чтобы найти угол между векторами СА и СВ, нужно воспользоваться формулой для нахождения косинуса угла между векторами:
\[\cos{\theta} = \frac{\overrightarrow{CA} \cdot \overrightarrow{CB}}{|\overrightarrow{CA}| \cdot |\overrightarrow{CB}|},\]
где \(\theta\) - угол между векторами, \(\overrightarrow{CA}\) и \(\overrightarrow{CB}\) - соответствующие векторы, а \(|\overrightarrow{CA}|\) и \(|\overrightarrow{CB}|\) - их модули.

Для данной задачи, координаты точек А(1;3;0), В(2;3;-1) и С(1;2;-1).

Сначала найдем соответствующие векторы:
\(\overrightarrow{CA} = \begin{pmatrix} 1-1 \\ 2-3 \\ -1-0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ -1 \end{pmatrix},\)
\(\overrightarrow{CB} = \begin{pmatrix} 2-1 \\ 3-2 \\ -1-(-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}.\)

Теперь найдем модули векторов:
\(|\overrightarrow{CA}| = \sqrt{0^2 + (-1)^2 + (-1)^2} = \sqrt{2},\)
\(|\overrightarrow{CB}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 0^2} = \sqrt{2}.\)

Подставим значения в формулу:
\(\cos{\theta} = \frac{\overrightarrow{CA} \cdot \overrightarrow{CB}}{|\overrightarrow{CA}| \cdot |\overrightarrow{CB}|} = \frac{(0) \cdot (1) + (-1) \cdot (1) + (-1) \cdot (0)}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{-1}{2}.\)

Наконец, найдем угол \(\theta\) с помощью обратной функции косинуса:
\(\theta = \arccos{\left(\frac{-1}{2}\right)} \approx 120^\circ.\)

Таким образом, угол между векторами СА и СВ составляет приблизительно 120°.