1) Какова площадь треугольника, у которого две стороны равны 2√3 и 23, а угол между ними равен 60°? 2) Найдите площадь

Сон

65

Решение:

1) Для нахождения площади треугольника мы можем использовать формулу S = (1/2) * a * b * sin(C), где a и b - длины сторон треугольника, а C - угол между этими сторонами. В данной задаче у нас a = 2√3, b = 23, и C = 60°. Подставим значения в формулу:

\[S = (1/2) * 2√3 * 23 * sin(60°)\]

Находим синус 60° - это равно √3 / 2:

\[S = (1/2) * 2√3 * 23 * (√3 / 2)\]

Упрощаем:

\[S = √3 * 23 * (√3 / 2)\]

Далее, перемножим числители и знаменатели:

\[S = (23 * 3 * √3) / 2\]

\[S = (69√3) / 2\]

Таким образом, площадь треугольника равна \((69√3) / 2\).

2) По условию, площадь треугольника abc равна 11, а de - средняя линия (также известна как линия, соединяющая середины двух сторон).
Известно, что площадь треугольника, образованного средней линией, в два раза меньше площади исходного треугольника. То есть, площадь треугольника cde составляет 11 / 2 (половина площади треугольника abc).

Итак, площадь треугольника cde равна 11 / 2.

3) Если периметры двух подобных многоугольников соотносятся как 2:7, то их площади будут соотноситься как квадраты их сторонных отношений. То есть, если периметр меньшего многоугольника равен 2, а площадь равна 2, то площадь большего многоугольника будет равна \(2^2 * 7 = 28\).

Таким образом, площадь большего многоугольника равна 28.

4) Пусть x - меньшая сторона прямоугольника. Тогда большая сторона будет равна (x + 3). По условию, площадь прямоугольника равна 1.75. Используя формулу для площади прямоугольника (S = a * b), получаем:

\[1.75 = x * (x + 3)\]

Раскрываем скобки:

\[1.75 = x^2 + 3x\]

Уравнение теперь является квадратным. Переносим все члены влево и получаем:

\[x^2 + 3x - 1.75 = 0\]

Для решения этого квадратного уравнения, мы можем воспользоваться формулой дискриминанта, где

\[D = b^2 - 4ac\]

В данном случае a = 1, b = 3, c = -1.75. Подставим значения:

\[D = 3^2 - 4 * 1 * (-1.75)\]

\[D = 9 + 7 = 16\]

Так как дискриминант положительный (D > 0), у нас есть два корня. Используя формулу для нахождения корней квадратного уравнения, получаем:

\[x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\]

\[\frac{-3 \pm \sqrt{16}}{2}\]

\[\frac{-3 \pm 4}{2}\]

Таким образом, мы получаем два корня x1 = -7/2 и x2 = 1/2. Мы знаем, что сторона не может быть отрицательной, поэтому выбираем положительный корень x2 = 1/2.

Следовательно, большая сторона равна x + 3 = 1/2 + 3 = 7/2.

5) Пусть длина одной стороны прямоугольника равна x, а длина другой стороны равна 3x/5. По условию, площадь прямоугольника равна 135. Используя формулу для площади прямоугольника (S = a * b), получаем:

\[135 = x * (3x/5)\]

Раскрываем скобку:

\[135 = 3x^2/5\]

Умножаем обе части уравнения на 5:

\[675 = 3x^2\]

Делим обе части уравнения на 3:

\[225 = x^2\]

Находим квадратный корень от обеих частей уравнения:

\[x = \sqrt{225}\]

x может быть положительным или отрицательным, но в данном случае мы ищем длину, поэтому x = 15.

Следовательно, длина одной стороны прямоугольника равна 15, а длина другой стороны равна (3 * 15) / 5 = 9.

Периметр прямоугольника равен сумме всех его сторон:

\[2 * (15 + 9) = 2 * 24 = 48\]

Таким образом, периметр прямоугольника равен 48.