1. Какова скорость роста популяции бактерий при прошествии 2 часов, если размер популяции определяется формулой P(t
1. Какова скорость роста популяции бактерий при прошествии 2 часов, если размер популяции определяется формулой P(t) = 10^6+10^4t-10^3t^2?
2. Каков максимальный размер популяции, если в питательную среду вносят популяцию из 1000 бактерий, и численность популяции увеличивается в соответствии с законом P(t) = 1000 + 1000t/100 + t^2?
2. Каков максимальный размер популяции, если в питательную среду вносят популяцию из 1000 бактерий, и численность популяции увеличивается в соответствии с законом P(t) = 1000 + 1000t/100 + t^2?
Скоростная_Бабочка 2
Ок, давайте решим эти задачи по очереди.1. Нам нужно найти скорость роста популяции бактерий через 2 часа, используя заданную формулу P(t) = 10^6+10^4t-10^3t^2.
Для этого мы возьмем производную функции P(t) по переменной t. Вот как это можно сделать:
\[P"(t) = \frac{d}{dt}(10^6+10^4t-10^3t^2)\]
Чтобы найти производную, мы возьмем производную каждого слагаемого по отдельности. Производная константы равна нулю, поэтому производные первого и второго слагаемых дают:
\[P"(t) = \frac{d}{dt}(10^4t) - \frac{d}{dt}(10^3t^2)\]
Применяем правило производной константы и производное сложения:
\[P"(t) = 10^4 - 2 \cdot 10^3t\]
Теперь, чтобы найти скорость роста популяции через 2 часа, мы подставим t = 2 в полученное выражение:
\[P"(2) = 10^4 - 2 \cdot 10^3 \cdot 2\]
\[P"(2) = 10^4 - 4 \cdot 10^3\]
\[P"(2) = -3000\]
Таким образом, скорость роста популяции бактерий через 2 часа составляет -3000 единиц.
2. Теперь рассмотрим задачу о максимальном размере популяции. У нас есть формула P(t) = 1000 + \frac{1000t}{100} + t^2.
Чтобы найти максимальный размер популяции, мы можем использовать производную функции P(t). Найдем ее:
\[P"(t) = \frac{d}{dt}\left(1000 + \frac{1000t}{100} + t^2\right)\]
Производные первого и второго слагаемых равны:
\[P"(t) = \frac{1000}{100} + 2t\]
\[P"(t) = 10 + 2t\]
Теперь найдем точку, где производная равна нулю, чтобы определить максимум или минимум функции. Решим уравнение:
\[10 + 2t = 0\]
\[2t = -10\]
\[t = -5\]
Получается, что производная равна нулю при t = -5.
Теперь проведем вторую производную, чтобы убедиться, что это действительно точка максимума. Найдем производную P""(t):
\[P""(t) = \frac{d}{dt}(10 + 2t)\]
\[P""(t) = 2\]
Так как производная P""(t) не равна нулю, то это убеждает нас в том, что мы имеем точку максимума функции.
Теперь, чтобы найти максимальный размер популяции, мы подставим t = -5 в формулу:
\[P(-5) = 1000 + \frac{1000(-5)}{100} + (-5)^2\]
\[P(-5) = 1000 - 50 + 25\]
\[P(-5) = 975\]
Таким образом, максимальный размер популяции бактерий составляет 975 единиц.