1. Какова скорость спутника планеты, находящегося на высоте 100 км над ее поверхностью, с учетом массы планеты 8*10^20

Izumrud

13

1. Для нахождения скорости спутника планеты на определенной высоте от поверхности планеты, мы можем использовать закон всемирного тяготения и закон сохранения энергии.

Сначала найдем ускорение свободного падения на поверхности планеты. Ускорение свободного падения (g) можно найти из закона всемирного тяготения, используя формулу:

\[g = \frac{{G \cdot M}}{R^2}\]

где G - гравитационная постоянная (6,67 * 10^-11 м^3/кг * с^2), M - масса планеты (8 * 10^20 кг), R - радиус планеты (1400 км = 1 400 000 м).

Подставим известные значения в формулу:

\[g = \frac{{6,67 \cdot 10^{-11} \cdot 8 \cdot 10^{20}}}{{1 400 000^2}}\]

Получаем:

\[g \approx 1,91 \ м/с^2\]

Теперь можем найти скорость спутника на высоте 100 км от поверхности планеты. Используем закон сохранения энергии между начальной точкой спутника (на высоте 100 км) и поверхностью планеты:

\[\frac{1}{2} m v^2 - \frac{G \cdot M \cdot m}{R + h} = \frac{1}{2} m v_0^2 - \frac{G \cdot M \cdot m}{R}\]

где m - масса спутника, v - скорость спутника на высоте h над поверхностью планеты, h - высота спутника над поверхностью планеты, R - радиус планеты, v0 - скорость спутника на поверхности планеты.

Мы знаем, что масса спутника (m) не меняется, поэтому ее можно сократить.

Также мы знаем, что на высоте 100 км от поверхности планеты скорость спутника (v) будет равна 0, так как его движение замедляется и останавливается при достижении минимальной высоты на орбите.

Упростим уравнение:

\[\frac{1}{2} v_0^2 - \frac{G \cdot M}{R} = 0\]

Отсюда найдем скорость спутника на поверхности планеты (v0):

\[\frac{1}{2} v_0^2 = \frac{G \cdot M}{R}\]
\[v_0 = \sqrt{\frac{2 \cdot G \cdot M}{R}}\]
\[v_0 \approx \sqrt{\frac{2 \cdot 6,67 \cdot 10^{-11} \cdot 8 \cdot 10^{20}}{1 400 000}}\]
\[v_0 \approx 10 428 \ м/с\]

Теперь можем найти скорость спутника на высоте 100 км (v):

\[\frac{1}{2} v_0^2 - \frac{G \cdot M}{R + h} = \frac{1}{2} v^2 - \frac{G \cdot M}{R}\]
\[\frac{1}{2} (10 428)^2 - \frac{6,67 \cdot 10^{-11} \cdot 8 \cdot 10^{20}}{1 400 000 + 100 000} = \frac{1}{2} v^2 - \frac{6,67 \cdot 10^{-11} \cdot 8 \cdot 10^{20}}{1 400 000}\]
\[v^2 = \frac{6,67 \cdot 10^{-11} \cdot 8 \cdot 10^{20}}{1 400 000} + \frac{1}{2} (10 428)^2 - \frac{6,67 \cdot 10^{-11} \cdot 8 \cdot 10^{20}}{1 400 000 + 100 000}\]
\[v \approx \sqrt{\frac{6,67 \cdot 10^{-11} \cdot 8 \cdot 10^{20}}{1 400 000} + \frac{1}{2} (10 428)^2 - \frac{6,67 \cdot 10^{-11} \cdot 8 \cdot 10^{20}}{1 400 000 + 100 000}}\]
\[v \approx 9 742 \ м/с\]

Таким образом, скорость спутника планеты на высоте 100 км от ее поверхности составляет примерно 9 742 м/с.

Теперь рассмотрим вопрос об изменении скорости спутника при увеличении его орбиты. При увеличении орбиты радиус планеты не меняется, и скорость спутника на поверхности планеты (v0) остается постоянной. Однако, по закону сохранения энергии, скорость спутника на любой высоте (v) уменьшается при увеличении его орбиты. Таким образом, скорость спутника уменьшается при увеличении его орбиты.