1) Какова вероятность того, что две последовательные точки, выбранные равновероятно внутри круга, попадут внутрь

Zinaida

65

1) Для решения данной задачи рассмотрим отношение площадей круга и квадрата. Обозначим площадь круга как $S_{\text{круга}}$ и площадь квадрата как $S_{\text{квадрата}}$.

Площадь круга можно выразить через его радиус $r$ следующим образом:
$$S_{\text{круга}}=\pi r^2$$

Площадь квадрата вписанного в круг равна удвоенной площади круга:
$$S_{\text{квадрата}}=2S_{\text{круга}}=2\pi r^2$$

Теперь рассмотрим две последовательные точки, выбранные равновероятно внутри круга. Вероятность того, что обе точки попадут внутрь квадрата, можно определить как отношение площади квадрата к площади круга:
$$P=\frac{S_{\text{квадрата}}}{S_{\text{круга}}}=\frac{2\pi r^2}{\pi r^2}=2$$

Таким образом, вероятность того, что две последовательные точки, выбранные равновероятно внутри круга, попадут внутрь квадрата, равна 2.

2) Для нахождения вероятности $p(а-б)$ при известных вероятностях $p(а)$, $p(в)$ и $p(а+в)$ воспользуемся формулой условной вероятности:
$$p(а-б)=\frac{p(а)-p(а+в)}{1-p(в)}$$

Подставляем известные значения:
$$p(а-б)=\frac{0.7-0.95}{1-0.8}=\frac{-0.25}{0.2}=-1.25$$

Однако, вероятность не может быть отрицательной, поэтому в данном случае ответ на задачу не существует.

3) По условию задачи, только две стрелки попали в мишень. Вероятность попадания каждой стрелки равна 0.7, 0.8 и 0.9 соответственно.

Чтобы найти вероятность того, что вторая и третья стрелки попали в мишень, нужно учесть, что первая стрелка не попала в мишень. Вероятность не попадания первой стрелки равна $1-0.7=0.3$.

Теперь можем вычислить искомую вероятность:
$$P=P(\text{вторая и третья стрелки попали})=P(\text{первая стрелка не попала})\cdot P(\text{вторая стрелка попала})\cdot P(\text{третья стрелка попала})=0.3\cdot 0.8\cdot 0.9=0.216$$

Таким образом, вероятность того, что вторая и третья стрелки попали в мишень составляет 0.216.

4) Задана вероятность попадания в мишень равная 0.6. Было сделано 11 выстрелов.

Для нахождения вероятности того, что попаданий было $k$ раз из $n$ выстрелов воспользуемся биномиальным распределением.

Формула для вероятности нахождения точно $k$ попаданий в $n$ выстрелах с вероятностью $p$ попадания в один выстрел выглядит следующим образом:
$$P(X=k)=C_n^k\cdot p^k\cdot (1-p{)}^{n-k}$$

Где $C_n^k$ - число сочетаний из $n$ по $k$, которое можно вычислить следующим образом:
$$C_n^k=\frac{n!}{k!(n-k)!}$$

В данном случае, $n=11$, $p=0.6$. Чтобы найти вероятность того, что попаданий было $k$ раз, подставим соответствующие значения в формулу.
$$P(X=k)=C_{11}^k\cdot {0.6}^k\cdot (1-0.6{)}^{11-k}$$

Подставляя выражение для числа сочетаний:
$$P(X=k)=\frac{11!}{k!(11-k)!}\cdot {0.6}^k\cdot {0.4}^{11-k}$$

Таким образом, вероятность того, что попаданий было $k$ раз при 11 выстрелах с вероятностью попадания в мишень 0.6 будет равна полученному выражению.