1) Какова вероятность того, что две последовательные точки, выбранные равновероятно внутри круга, попадут внутрь

Zinaida

65

1) Для решения данной задачи рассмотрим отношение площадей круга и квадрата. Обозначим площадь круга как \(S_{\text{круга}}\) и площадь квадрата как \(S_{\text{квадрата}}\).

Площадь круга можно выразить через его радиус \(r\) следующим образом:
\[S_{\text{круга}} = \pi r^2\]

Площадь квадрата вписанного в круг равна удвоенной площади круга:
\[S_{\text{квадрата}} = 2S_{\text{круга}} = 2 \pi r^2\]

Теперь рассмотрим две последовательные точки, выбранные равновероятно внутри круга. Вероятность того, что обе точки попадут внутрь квадрата, можно определить как отношение площади квадрата к площади круга:
\[P = \frac{S_{\text{квадрата}}}{S_{\text{круга}}} = \frac{2 \pi r^2}{\pi r^2} = 2\]

Таким образом, вероятность того, что две последовательные точки, выбранные равновероятно внутри круга, попадут внутрь квадрата, равна 2.

2) Для нахождения вероятности \(p(а - б)\) при известных вероятностях \(p(а)\), \(p(в)\) и \(p(а+в)\) воспользуемся формулой условной вероятности:
\[p(а - б) = \frac{p(а) - p(а+в)}{1 - p(в)}\]

Подставляем известные значения:
\[p(а - б) = \frac{0.7 - 0.95}{1 - 0.8} = \frac{-0.25}{0.2} = -1.25\]

Однако, вероятность не может быть отрицательной, поэтому в данном случае ответ на задачу не существует.

3) По условию задачи, только две стрелки попали в мишень. Вероятность попадания каждой стрелки равна 0.7, 0.8 и 0.9 соответственно.

Чтобы найти вероятность того, что вторая и третья стрелки попали в мишень, нужно учесть, что первая стрелка не попала в мишень. Вероятность не попадания первой стрелки равна \(1 - 0.7 = 0.3\).

Теперь можем вычислить искомую вероятность:
\[P = P(\text{вторая и третья стрелки попали}) = P(\text{первая стрелка не попала}) \cdot P(\text{вторая стрелка попала}) \cdot P(\text{третья стрелка попала}) = 0.3 \cdot 0.8 \cdot 0.9 = 0.216\]

Таким образом, вероятность того, что вторая и третья стрелки попали в мишень составляет 0.216.

4) Задана вероятность попадания в мишень равная 0.6. Было сделано 11 выстрелов.

Для нахождения вероятности того, что попаданий было \(k\) раз из \(n\) выстрелов воспользуемся биномиальным распределением.

Формула для вероятности нахождения точно \(k\) попаданий в \(n\) выстрелах с вероятностью \(p\) попадания в один выстрел выглядит следующим образом:
\[P(X=k) = C_n^k \cdot p^k \cdot (1 - p)^{n-k}\]

Где \(C_n^k\) - число сочетаний из \(n\) по \(k\), которое можно вычислить следующим образом:
\[C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}\]

В данном случае, \(n = 11\), \(p = 0.6\). Чтобы найти вероятность того, что попаданий было \(k\) раз, подставим соответствующие значения в формулу.
\[P(X=k) = C_{11}^k \cdot 0.6^k \cdot (1 - 0.6)^{11-k}\]

Подставляя выражение для числа сочетаний:
\[P(X=k) = \frac{11!}{k!(11-k)!} \cdot 0.6^k \cdot 0.4^{11-k}\]

Таким образом, вероятность того, что попаданий было \(k\) раз при 11 выстрелах с вероятностью попадания в мишень 0.6 будет равна полученному выражению.