Как решить задачу о нахождении площади поверхности прямоугольного параллелепипеда, который описан около сферы радиусом

Загадочный_Сокровище

66

Чтобы решить задачу о нахождении площади поверхности прямоугольного параллелепипеда, который описан вокруг сферы радиусом, мы можем использовать некоторые свойства этой фигуры.

Давайте разберемся, как можно найти площадь поверхности параллелепипеда. Площадь поверхности параллелепипеда складывается из площадей его граней. В данном случае нас интересуют грани, которые примыкают к сфере.

Первая грань – это основание параллелепипеда, которое является прямоугольником. Пусть длина этого прямоугольника равна \(a\), ширина равна \(b\), а высота параллелепипеда равна \(c\).

Вторая грань – это одна из четырех боковых граней параллелепипеда. Предположим, что сторона прямоугольника, образующего боковую грань, равна \(a\), а высота параллелепипеда равна \(c\).

Зная эти размеры, мы можем приступить к расчету площади поверхности.

Площадь основания параллелепипеда равна \(S_{\text{основания}} = a \times b\).
Площадь одной из боковых граней параллелепипеда равна \(S_{\text{боковой грани}} = a \times c\).

Так как параллелепипед имеет две такие грани (высоту учитываем дважды), общая площадь боковых граней параллелепипеда составляет \(2 \times S_{\text{боковой грани}} = 2 \times a \times c\).

Наконец, общая площадь поверхности параллелепипеда складывается из площади основания и площади боковых граней:
\[ S_{\text{поверхности}} = 2 \times S_{\text{основания}} + 2 \times S_{\text{боковой грани}} = 2 \times a \times b + 2\times a \times c.\]

Теперь, чтобы нарисовать связь с описанной сферой, рассмотрим параллелепипед, описанный около сферы. В этом случае, диагонали прямоугольника основания являются диаметрами сферы.

По теореме Пифагора для треугольника, образованного диагональю параллелепипеда и его сторонами, имеем:
\[d^2 = a^2 + b^2,\]
где \(d\) - диагональ основания параллелепипеда.

Зная радиус, который является половиной диагонали, можем определить длину диагонали: \(d = 2r\).

Подставим значение диагонали в формулу для площади первого основания прямоугольного параллелепипеда:
\[S_{\text{основания}} = a \times b = (2r)^2 - b^2 = 4r^2 - b^2.\]

Теперь мы можем выразить \(b\) через \(r\):
\[b = \sqrt{4r^2 - S_{\text{основания}}}.\]

Зная \(b\), мы можем выразить площадь поверхности параллелепипеда через радиус:
\[S_{\text{поверхности}} = 2 \times a \times b + 2 \times a \times c = 2 \times a \times \sqrt{4r^2 - S_{\text{основания}}} + 2 \times a \times c.\]

Окончательно, формула для площади поверхности прямоугольного параллелепипеда, описанного около сферы радиусом \(r\), выглядит следующим образом:
\[S_{\text{поверхности}} = 2 \times a \times \sqrt{4r^2 - S_{\text{основания}}} + 2 \times a \times c.\]

Надеюсь, это подробное объяснение и пошаговое решение помогли вам разобраться с задачей о нахождении площади поверхности прямоугольного параллелепипеда, который описан около сферы радиусом.