1) Какова вероятность того, что из четырех бросаний игральной кости три раза выпадет шесть очков? 2) Найдите

Kroshka

7

Хорошо, решим поставленные задачи по порядку.

1) Для решения этой задачи, нам необходимо использовать биномиальное распределение. Сначала посчитаем вероятность выпадения шести очков в одном броске игральной кости. Вероятность выпадения шести очков в одном броске равна \(\frac{1}{6}\), так как на кости всего 6 граней.

Теперь посчитаем вероятность выпадения конкретной комбинации результатов при четырех бросках. Мы хотим, чтобы шесть очков выпала ровно три раза. Количество способов выбрать 3 броска, в которых выпадет шесть очков, получается по формуле сочетаний: \(C_4^3\), где \(C_n^k\) - число сочетаний из n по k.

Количество способов выбрать 3 броска из 4 равно \(\binom{4}{3} = 4\).

Теперь мы можем посчитать искомую вероятность. Она равна произведению вероятности выпадения шести очков в одном броске и количества способов выбрать 3 броска из 4:

\(\text{Вероятность} = \frac{1}{6} \cdot \binom{4}{3} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}\).

Таким образом, вероятность того, что из четырех бросаний игральной кости три раза выпадет шесть очков, равна \(\frac{2}{3}\).

2) Для решения второй задачи, мы можем использовать биномиальное распределение. Вероятность изготовления стандартной детали равна 0,9, а количество изготовленных деталей равно 100.

Теперь мы можем посчитать искомую вероятность. Она равна вероятности изготовления 85 стандартных деталей и 15 нестандартных деталей:

\(\text{Вероятность} = \binom{100}{85} \cdot (0,9)^{85} \cdot (0,1)^{15}\).

Подсчет данной вероятности может быть сложным, однако вычислительные программы или калькуляторы с поддержкой комбинаторики могут помочь получить окончательный результат.

3) Для решения третьей задачи, мы также можем использовать биномиальное распределение. Изначально в коробке есть 8 одинаковых изделий, 5 из которых окрашены. Мы извлекаем 3 изделия наугад.

Количество способов выбрать 1 окрашенное изделие из 5 равно \(\binom{5}{1} = 5\).
Количество способов выбрать 2 неокрашенных изделия из 3 равно \(\binom{3}{2} = 3\).

Таким образом, мы можем посчитать искомую вероятность. Она равна произведению количества способов выбрать 1 окрашенное изделие и 2 неокрашенных изделия и общего количества способов выбрать 3 изделия:

\(\text{Вероятность} = \frac{\binom{5}{1} \cdot \binom{3}{2}}{\binom{8}{3}} = \frac{5 \cdot 3}{56} = \frac{15}{56}\).

Таким образом, вероятность того, что среди трех извлеченных изделий окажется ровно одно окрашенное, равна \(\frac{15}{56}\).