1) Какова вероятность выбрать 3 цифры наугад из чисел 1,2,3,4,5,6,7,8,9,0, так чтобы число 9 было среди выбранных цифр?
1) Какова вероятность выбрать 3 цифры наугад из чисел 1,2,3,4,5,6,7,8,9,0, так чтобы число 9 было среди выбранных цифр?
2) Из общего количества 1000 лотерейных билетов, 100 являются выигрышными. Какова вероятность того, что из 5 купленных билетов хотя бы один окажется выигрышным?
2) Из общего количества 1000 лотерейных билетов, 100 являются выигрышными. Какова вероятность того, что из 5 купленных билетов хотя бы один окажется выигрышным?
Yagodka 2
1) Чтобы решить данную задачу, сначала нужно определить общее количество возможных комбинаций из трех цифр, в которых число 9 будет среди выбранных цифр.Количество возможных комбинаций из трех цифр выбранных из чисел {1,2,3,4,5,6,7,8,9,0} равно общему числу комбинаций из этих чисел:
\[C^{3}_{10} = \frac{10!}{3!(10-3)!} = \frac{10!}{3!7!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 120.\]
Теперь нужно определить количество комбинаций, в которых число 9 является одной из выбранных цифр. Обратим внимание, что в этом случае у нас есть только один "фиксированный" элемент - число 9. Таким образом, мы выбираем еще 2 цифры из оставшихся 9. Количество комбинаций для выбора 2 цифр из 9:
\[C^{2}_{9} = \frac{9!}{2!(9-2)!} = \frac{9!}{2!7!} = \frac{9 \cdot 8}{2 \cdot 1} = 36.\]
Теперь мы можем найти вероятность выбрать 3 цифры, включающих число 9:
\[P = \frac{\text{количество благоприятных событий}}{\text{общее количество возможных событий}} = \frac{36}{120} = \frac{3}{10} = 0.3 = 30\%.\]
Итак, вероятность выбрать 3 цифры, включающих число 9, составляет 0.3 или 30%.
2) Для решения данной задачи мы можем использовать комбинаторику и применить принцип включения-исключения.
Общее количество возможных комбинаций из 5 купленных билетов:
\[C^{5}_{1000} = \frac{1000!}{5!(1000-5)!} = \frac{1000!}{5!995!}.\]
Количество комбинаций, в которых НЕТ ни одного выигрышного билета:
\[C^{5}_{900} = \frac{900!}{5!(900-5)!} = \frac{900!}{5!895!}.\]
Теперь мы можем использовать принцип включения-исключения. Количество комбинаций, в которых хотя бы один билет выигрышный, можно выразить следующим образом:
\[C^{5}_{1000} - C^{5}_{900}.\]
Теперь можем найти вероятность хотя бы одного выигрышного билета:
\[P = \frac{C^{5}_{1000} - C^{5}_{900}}{C^{5}_{1000}} = \frac{\frac{1000!}{5!995!} - \frac{900!}{5!895!}}{\frac{1000!}{5!995!}} = 1 - \frac{\frac{900!}{5!895!}}{\frac{1000!}{5!995!}}.\]
Рассчитывать данное выражение вручную может быть сложно, поэтому давайте воспользуемся калькулятором. Вероятность хотя бы одного выигрышного билета составляет примерно:
\[P \approx 0.92 = 92\%.\]
Таким образом, вероятность хотя бы одного выигрышного билета составляет примерно 0.92 or 92%.