1. Какова вероятность выбрать случайно 6 студентов из группы, состоящей из 20 студентов, таким образом, чтобы среди

Танец

1

Хорошо, рассмотрим каждую задачу по порядку.

1. Для решения этой задачи мы можем использовать понятие комбинаторики. Общее количество способов выбрать 6 студентов из группы, состоящей из 20 студентов, равно количеству сочетаний из 20 по 6. Это можно обозначить как \(\binom{20}{6}\).

Количество сочетаний из \(n\) по \(k\) можно вычислить по формуле: \(\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}\), где \(n!\) обозначает факториал числа \(n\). Факториал числа \(n\) равен произведению всех натуральных чисел от 1 до \(n\). Например, \(5! = 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 120\).

Теперь можем вычислить значение: \(\binom{20}{6} = \frac{20!}{6!(20-6)!}\). Раскрывая факториалы, получаем: \(\binom{20}{6} = \frac{20 \cdot 19 \cdot 18 \cdot 17 \cdot 16 \cdot 15}{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}\).

Выполнив необходимые вычисления, получим: \(\binom{20}{6} = 38,760\).

Теперь рассмотрим количество способов выбрать 3 девушки из 10 (количество девушек в группе) и 3 юношей из 10 (количество юношей в группе). То есть, количество благоприятных исходов для нашей задачи будет равно количеству сочетаний из 10 по 3, умноженному на количество сочетаний из 10 по 3. Обозначим это как \(\binom{10}{3} \cdot \binom{10}{3}\).

Выполняя необходимые вычисления, получаем: \(\binom{10}{3} \cdot \binom{10}{3} = 120 \cdot 120 = 14,400\).

Теперь можем найти искомую вероятность, разделив количество благоприятных исходов на общее количество исходов: \(\frac{\binom{10}{3} \cdot \binom{10}{3}}{\binom{20}{6}}\).

Выполнив вычисления, получим: \(\frac{14,400}{38,760} \approx 0.371\).

Таким образом, вероятность выбрать случайно 6 студентов из группы, состоящей из 20 студентов, таким образом, чтобы среди них было 3 девушки и 3 юноши, составляет примерно 0.371 или 37.1%.

2. Для решения этой задачи мы можем использовать условную вероятность. Дано, что выбранный шар оказывается красным. Нам нужно найти вероятность того, что он был взят из 2-й коробки.

Общее количество красных шаров равно сумме количества красных шаров в каждой коробке: \(5 + 4 + 7 = 16\).

Количество красных шаров, взятых из 2-й коробки, равно количеству красных шаров во 2-й коробке: 4.

Теперь можем найти искомую вероятность, применив формулу условной вероятности: \(\dfrac{\text{Количество благоприятных исходов}}{\text{Общее количество исходов}}\).

То есть, вероятность выбрать шар из 2-й коробки при условии, что выбранный шар оказывается красным, равна \(\dfrac{4}{16} = 0.25\) или 25%.

Таким образом, вероятность того, что выбранный шар был взят из 2-й коробки при условии, что он оказывается красным, составляет 0.25 или 25%.