1. Каково кратчайшее расстояние от точки на сфере до плоскости Oxz? 2. Что представляет собой длина линии пересечения

Иван_3458

50

Конечно! Вот подробные решения ваших задач:

1. Кратчайшее расстояние от точки на сфере до плоскости Oxz:
Предположим, у нас есть сфера с центром в начале координат O и радиусом R, а также плоскость Oxz. Мы хотим найти кратчайшее расстояние от точки на сфере до плоскости Oxz.

Чтобы найти это расстояние, мы можем использовать проекцию точки на плоскость. Проекция точки на плоскость - это перпендикуляр, опущенный из точки на плоскость.

Чтобы найти координаты проекции точки на плоскость, мы можем проектировать координаты точки на плоскость Oxz, сохраняя координату y равной нулю. Давайте обозначим исходную точку на сфере как P(x, y, z) и ее проекцию на плоскость Oxz как P"(x, 0, z").

Теперь, мы знаем, что расстояние между точками P и P" будет кратчайшим расстоянием от точки на сфере до плоскости Oxz. Мы можем найти эту длину, используя формулу расстояния между двумя точками в трехмерном пространстве:

\[d = \sqrt{(x - x")^2 + (y - y")^2 + (z - z")^2} = \sqrt{(x - x")^2 + z^2}\]

Здесь x, z и z" - это координаты точек P и P". Мы оставляем y = 0, поскольку проецируем точку на плоскость без изменения y-координаты.

Зная, что уравнение сферы имеет вид \(x^2 + y^2 + z^2 = R^2\), мы можем использовать его, чтобы найти x" и z":

Поскольку y = 0, то уравнение сферы упростится до \(x^2 + z^2 = R^2\).

Теперь мы можем решить это уравнение относительно x или z и подставить это значение в формулу расстояния.

Давайте решим это уравнение относительно x:

\[x = \sqrt{R^2 - z^2}\]

Теперь подставим найденное значение x в формулу расстояния:

\[d = \sqrt{(\sqrt{R^2 - z^2} - x)^2 + z^2}\]

Теперь мы можем упростить это уравнение и получить окончательное выражение для кратчайшего расстояния \(d\).

2. Длина линии пересечения сферы и плоскости:
Длина линии пересечения сферы и плоскости зависит от радиуса сферы и угла пересечения между нормалью плоскости и радиус-вектором точки пересечения.

Пусть у нас есть сфера с центром O и радиусом R, и плоскость с уравнением Ax + By + Cz + D = 0.

Чтобы найти длину линии пересечения, мы можем использовать формулу длины окружности: \(L = 2\pi r\), где r - радиус окружности.

Для начала, найдем точки пересечения между сферой и плоскостью. Подставим уравнение плоскости в уравнение сферы и решим полученное квадратное уравнение относительно одной из переменных (x, y или z). Это даст нам уравнение линии пересечения.

Затем найдем угол между нормалью плоскости и радиус-вектором точки пересечения. Радиус-вектор точки пересечения будет вектором, направленном от центра сферы к точке пересечения.

После этого, мы можем найти радиус окружности, используя формулу радиуса в сферической системе координат: \(r = R \cdot \cos(\theta)\), где \(\theta\) - это угол между нормалью плоскости и радиус-вектором точки пересечения.

Наконец, подставим найденное значение радиуса в формулу длины окружности и получим длину линии пересечения сферы и плоскости \(L\).